Основы программирования. Борисенко

подряд. Это означает, что, поскольку число черных вершин в любом пути одинаково, длины разных путей к терминальным вершинам от¬ личаются не более чем вдвое. Это свойство близко по своей сути к сбалансированности. Несложно показать, что для красно-черного дерева справедлива следующая оценка сверху на высоту дерева в зависимости от числа вершин:

h < 2 l o g 2 ( n + 1).

Из этого следует, что поиск в красно-черном дереве т а к ж е выполня¬ ется за логарифмическое время.

Новая вершина добавляется в красно-черное дерево как терми¬ нальная после процедуры поиска (этим RB-дерево ничем не отли¬ чается от других упорядоченных деревьев). Новая вершина окраши¬ вается в красный цвет. При этом пункт 3) в определении красночерного дерева может нарушиться. Поэтому после добавления, а так¬ ж е удаления вершины выполняется процедура восстановления струк¬ туры красно-черного дерева, играющая ту ж е роль, что и восстанов¬ ление балансировки AVL-дерева. Преимущество красно-черных де¬ ревьев состоит в том, что процедура восстановления более простая. Во многих случаях она ограничивается перекрашиванием вершин. В ней т а к ж е могут выполняться операции вращения вершины влево и

ется сверху через высоту дерева:

число операций < K • h,

где h — высота дерева, K — константа. Поскольку дл я высоты R B - дерева справедлива приведенная выше логарифмическая оценка от числа вершин n, получаем оценку

число операций < C log 2 n,

где C — константа. Таким образом, добавление и удаление элементов выполняется в случае красно-черных деревьев за логарифмическое время в зависимости от числа вершин дерева.

4.6.4.Хеширование

Рассмотрим другую реализацию множества, в которой поиск эле¬ мента чаще всего происходит почти мгновенно. Правда, в исключи¬ тельных случаях поиск может быть долгим, и поэтому такая реали¬ зация не подходит дл я программ, в которых требуется повышенная надежность, например, при управлении реальными процессами.

Идея хеш - реализации состоит в том, что мы сводим работу с од¬ ним большим множеством к работе с массивом небольших множеств. Рассмотрим, к примеру, записную книжку. Она содержит список фа¬ милий людей с их телефонами (телефоны — это нагрузка элементов множества). Страницы записной к н и ж к и помечены буквами алфа¬ вита; страница, помеченная некоторой буквой, содержит только фа¬ милии, начинающиеся с этой буквы. Таким образом, все множество фамилий разбито на 28 подмножеств, соответствующих буквам рус¬

Она должна быть подобрана таким образом, чтобы 1) ее можно было легко вычислять; 2) она должна принимать всевозможные различ¬ ные значения приблизительно с равной вероятностью; 3) желатель¬

Параметром реализации является число подмножеств, которое также называют размером хеш-таблицы. Пусть он равен N . Тогда хеш - функция должна принимать значения 0, 1, 2, ... , N — 1. Ес­ ли изначально у нас есть некоторая функция H ( x ) , принимающая произвольные целые неотрицательные значения, то в качестве хеш - функции можно использовать функцию h(x), равную остатку от де¬ ления H ( x ) на N .

Множество M разбивается на N непересекающихся подмно­ жеств, занумерованных индексами от 0 до N — 1. Подмножество Mi

При поиске элемента x сначала вычисляется значение его хешфункции: t = h(x). Затем мы ищем x в подмножестве M t . Поскольку это подмножество небольшое, то поиск осуществляется быстро. Д л я эффективной реализации каждое подмножество должно в большин¬

элементов множества примерно в три раза. В примере с записной книжкой это означает, что в ней должно быть записано около 10 фамилий . В таком случае большинство страниц либо пустые, либо содержат одну фамилию, хотя не исключены и коллизии, когда на одной странице записаны несколько фамилий.

использующую ссылочную реализацию. Каждое подмножество пред¬ ставляется в виде линейного однонаправленного списка, содержа¬ щего элементы подмножества. Таким образом, имеемся N списков. Головы всех списков хранятся в одном массиве размера N , кото¬ рый называется хеш-таблицей. Элемент хеш-таблицы с индексом i представляет собой голову i-го списка. Голова содержит ссылку на первый элемент списка, первый элемент — на второй и так далее. Последний элемент в цепочке содержит нулевую ссылку, т.е. ссылку «в никуда». Если список пустой, то элемент хеш-таблицы с индексом i содержит нулевую ссылку.

голова i-го списка

|

4.6.5.Циклы «для каждого» и итераторы

Часто бывает необходимо перебрать все элементы структуры дан¬ ных и для каждого элемента выполнить некоторое действие. Обычно при записи алгоритмов на неформальном языке используется кон¬ струкция «цикл для каждого»; например, в случае множества M можно записать следующий фрагмент программы:

цикл для каждого элемента x из множества M | действие(х); конец цикла

В большинстве структур данных такой цикл можно реализовать, пользуясь другими действиями, возможными для структуры этого типа. Например, для списка можно использовать следующий фраг¬ мент программы:

установить указатель в начало списка; цикл пока указатель не в конце списка | действие(элемент за указателем); | передвинуть указатель вперед; конец цикла

Множество отличается от всех других структур данных тем, что цикл «для каждого» невозможно смоделировать, пользуясь други¬ ми предписаниями множества. Поэтому выполнение такого цикла должно быть обеспечено реализацией множества. Метод построения цикла «для каждого» в сильной степени зависит от используемого языка программирования и от конкретной библиотеки классов или подпрограмм. Как правило, создается некоторый объект, позволяю¬ щий последовательно перебирать элементы структуры. Внутреннее устройство такого объекта зависит от структуры данных и скрыто от программиста. Объект такого типа обычно называют «итератором» или «энумератором». С итератором возможны два действия:

2) получить следующий элемент структуры данных.

Реализация структуры данных должна обеспечить реализацию пред¬ писания, которое создает и инициализирует объект типа итератор, предназначенный для перебора элементов структуры.

В случае множества M цикл «для каждого» записывается с по¬ мощью итератора примерно так:

емые в программировании, и методы их реализации. Конечно, этими примерами не исчерпывается все многообразие структур данных. Од¬ нако, большинство реальных примеров либо аналогичны рассмотрен¬ ным, либо получаются комбинацией нескольких элементарных струк¬ тур — например, реализация массива множеств может использовать списки или деревья. Искусство программиста состоит в том, что¬ бы выбрать структуру данных, наиболее подходящую для решаемой задачи, чтобы в ней отсутствовали массовые операции, память расхо¬ довалась экономно и поиск выполнялся быстро. И, пожалуй, один из главных критериев — это простота и изящество программы, которая получается в результате.

4.7.Задачи по теме «Структуры данных»

1.Выписать на языке Си реализацию очереди на базе "кольцево­ го" массива.

2.Реализовать двунаправленный список на базе двух стеков (вы¬ писать реализацию на псевдокоде или на Си).

3.Выписать на Си непрерывную реализацию нагруженного мно¬ жества с помощью бинарного поиска. Элементами множества являются текстовые строки, нагрузками элементов — целые числа. Используя эту реализацию, написать программу, кото¬ рая находит множество всевозможных слов в заданном тексто-

Литература

[3]А. Г. Кушниренко, Г. В. Лебедев. Программирование дл я ма­ тематиков: Учебное пособие для вузов. — М . , Наука, 1988. — 384 с.

[4]А. П. Ершов, А. Г. Кушниренко, Г. В. Лебедев, А. Л . Семенов, А. Х. Шень. Основы информатики и вычислительной техники.

— М . : Просвещение, 1988.

[5]А. Г. Кушниренко, Г. В. Лебедев, Р. А. Сворень. Основы инфор¬ матики и вычислительной техники. — М . : Просвещение, 1990, 1991, 1993, 1996.

[6]Б. Керниган, Д . Ритчи. Язык программирования Си. — Пер. с англ. — М . : Финансы и статистика, 1992.

[9]П. Нотон. Java. Справочное руководство. — Пер. с англ. — М . : Восточная К н и ж н а я Компания, 1996. — 448 с.

[10] Б. Э. Смит, М . Т. Джонсон . Архитектура и программирование микропроцессора I N T E L 80386. — Пер. с англ. — М . : Конкорд, 1992. — 334 с.

с англ. — М . : М и р , 1985.

[13] Н. Вирт. Программирование на языке Модула-2. — Пер. с англ. — М . : М и р , 1987. — 224 с.