Основы программирования. Борисенко

конец алгоритма

4.6. Множество

тенциально неограниченная структура, оно может содержать любое конечное число элементов.

В некоторых языках программирования накладывают ограниче¬ ния на тип элементов и на максимальное количество элементов мно¬ жества. Так, иногда рассматривают множество элементов дискрет¬ ного типа, число элементов которого не может превышать некото¬ рой константы, задаваемой при создании множества. (Тип называет¬ ся дискретным, если все возможные значения данного типа можно занумеровать целыми числами.) Д л я таких множеств употребляют название Bitset ("набор битов") или просто Set. Как правило, для реализации таких множеств используется битовая реализация мно¬ жества на базе массива целых чисел. Каждое целое число рассмат¬ ривается в двоичном представлении как набор битов, содержащий 32 элемента. Биты внутри одного числа нумеруются справа налево (от младших разрядов к старшим); нумерация битов продолжается от одного числа к другому, когда мы перебираем элементы массива. К примеру, массив из десяти целых чисел содержит 320 битов, номера

представление первого элемента массива равно 10011 (биты нумеру¬ ются справа налево), второго — 100, это числа 19 и 4 в десятичном представлении. Все остальные элементы массива нулевые.

Хотя в языке программирования Паскаль слово Set, в перево¬ де «множество», закреплено за ограниченным множеством элемен¬ тов дискретного типа, такими множествами далеко не исчерпывают¬ ся потребности программирования. Например, множество точек на

будут рассмотрены несколько других реализаций, используемых для любых множеств.

дополнительной информацией, которую называют нагрузкой элемен¬ та. При добавлении элемента в множество нужно также указывать нагрузку, которую он несет. В разных языках программирования и в различных стандартных библиотеках такие структуры называют «Отображением» (Map) или «Словарем» (Dictionary). Действитель¬ но, элементы множества как бы отображаются на нагрузку, которую они несут (заметим, что в математике понятие функции или отоб¬ ражения определяется строго как множество пар; первым элементом каждой пары является конкретное значение аргумента функции, вто¬ рым — значение, на которое функция отображает аргумент). В ин¬ терпретации «Словаря» элемент множества — это иностранное слово, нагрузка элемента — это перевод слова на русский язык (разумеет¬ ся, перевод может включать несколько вариантов, но здесь перевод рассматривается как единый текст).

Подчеркнем еще раз, что все элементы содержатся в нагружен¬ ном множестве в одном экземпляре, т.е. разные элементы множества

294 4. 6. Множество

элемента, которая отвечает на вопрос, принадлежит ли элемент x множеству, и, если принадлежит, выдает индекс ячейки массива, со¬ держащей x. Та ж е процедура поиска используется и при удалении элемента из множества. При добавлении элемента он дописывается в конец (в ячейку массива с индексом «число элементов») и пере­ менная «число элементов» увеличивается на единицу. Д л я удаления элемента достаточно последний элемент множества переписать на место удаляемого и уменьшить переменную «число элементов» на

бо не найдем x, либо не убедимся, что его там нет. Пусть мно¬ жество содержит 1,000,000 элементов. Тогда, если x содержится в множестве, придется просмотреть в среднем 500,000 элементов, если нет — все элементы. Поэтому «наивная» реализация годится только для небольших множеств.

4.6.2.Бинарный поиск

Пусть можно сравнивать элементы множества друг с другом, определяя, какой из них больше. (Например, для текстовых строк применяется лексикографическое сравнение: первые буквы сравни¬ ваются по алфавиту; если они равны, то сравниваются вторые буквы и т.д.) Тогда можно существенно убыстрить поиск, применяя алго¬ ритм бинарного поиска. Д л я этого элементы множества хранятся в массиве в возрастающем порядке. Идея бинарного поиска иллюстри¬ руется следующей шуточной задачей: «Как поймать льва в пустыне? Надо разделить пустыню забором пополам, затем ту половину, в ко¬ торой находится лев, снова разделить пополам и так далее, пока лев не окажется пойманным».

В алгоритме бинарного поиска мы на каждом шагу делим отрезок массива, в котором может находиться искомый элемент x, пополам. Рассматриваем элемент у в середине отрезка. Если x меньше у, то выбираем левую половину отрезка, если больше, то правую. Таким образом, на каждом шаге размер отрезка массива, в котором может находиться элемент x, уменьшается в два раза. Поиск заканчивается, когда размер отрезка массива (т.е. расстояние между его правым и

левым концами) становится равным единице, т.е. через [log2 п]+1 ша­ гов, где п — размер массива. В нашем примере это произойдет после 20 шагов (т.к. log 2 1000000 < 20). Таким образом, вместо миллиона операций сравнения при последовательном поиска нужно выполнить всего лишь 20 операций при бинарном.

Запишем алгоритм бинарного поиска на псевдокоде. Д а н упоря­ доченный массив a вещественных чисел (вещественные числа ис¬ пользуются для определенности; бинарный поиск можно применять, если на элементах множества определен линейный порядок, т.е. дл я любых двух элементов можно проверить их равенство или опреде¬

сиве. Если элемент x содержится в массиве, то надо определить ин¬ декс i ячейки массива, содержащей x:

массива останутся упорядоченными, т.е.

найти i : a[i — 1] < x < a[i]

(считается, что a[—1] = —оо, a[n] = +оо). Объединив оба случая, получим неравенство

a[i — 1] < x < a[i].

Используем схему построения цикла с помощью инварианта, см. раздел 1.5.2. В процессе выполнения хранятся два индекса b и e (от слов begin и end), такие, что

a[b] < x < a[e].

Индексы b и e ограничивают текущий отрезок массива, в котором осуществляется поиск. Приведенное неравенство является инвари­ антом цикла. Перед началом выполнения цикла рассматриваются

гда x не превышает минимального элемента массива (x < a[0]) и

т.е. искомый индекс i равен e, а элемент x содержится в массиве

| цел b, e, c;

|

4.6.3.Реализации множества на базе деревьев

Реализация множества с помощью бинарного поиска во всех от¬ ношениях лучше «наивной» реализации. Вместе с тем, она все ж е имеет недостатки: 1) при добавлении и удалении элементов в сере¬ дине массива приходится переписывать элементы в конце массива

либо закрыть образовавшуюся лакуну при удалении элемента; 2) по¬ иск выполняется гарантированно быстро, но все-таки не мгновенно.

если зафиксировать некоторую вершину V и рассмотреть два подде¬ рева, соответствующих левому и правому сыновьям вершины, то все элементы в вершинах левого поддерева должны быть меньше, чем элемент в вершине V , а все элементы в вершинах правого поддерева

ке в таком дереве равняется его высоте (т.е. максимальной длине пути от корня

Точное определение сбалансированности следующее: будем счи¬ тать, что у каждой вершины, включая терминальные, ровно два сы¬ на, при необходимости добавляя внешние, или нулевые, вершины. Например, у терминальной вершины оба сына нулевые. (Это в точ¬

ответствующий указатель нулевой.) Обычные вершины дерева будем называть собственными. Рассмотрим путь от корня дерева к внешней

всех возможных путей от корня дерева к внешним вершинам разли¬ чаются не более чем на единицу. Иногда в литературе такие дере¬ вья называют почти сбалансированными, понимая под сбалансиро¬ ванностью строгое равенство длин всех путей от корня к внешним узлам; мы, однако, будем придерживаться нестрогого определения.

Пример сбалансированного дерева представлен на рисунке.

Поскольку максимальное число сравнений при поиске элемента в упорядоченном бинарном дереве равняется высоте дерева, поиск в сбалансированном дереве осуществляется исключительно быстро, за время, логарифмически зависящее от числа элементов множества. (Можно доказать, что это является теоретической оценкой снизу: никакой алгоритм не может в общем случае находить элемент бы¬ стрее, чем за log 2 n операций.)

Д л я эффективной реализации множества на базе дерева проце¬ дуры добавления и удаления элементов должны сохранять свойство сбалансированности (или почти сбалансированности). Рассмотрим коротко две наиболее популярные схемы реализации.

AVL-деревья

Так называемые AVL-деревья (названные в честь их двух изоб­ ретателей Г.М. Адельсона-Вельского и Е.М. Ландиса) хранят до¬ полнительно в каждой вершине разность между высотами левого и правого поддеревьев, которая в сбалансированном дереве может при¬ нимать только три значения: —1, 0, 1. Строго говоря, AVL-деревья не являются сбалансированными в смысле приведенного выше опре¬

высота оценивается сверху логарифмически в зависимости от числа вершин:

увеличивается время работы алгоритма при увеличении n. В данном случае зависимость логарифмическая, т.е. наилучшая из всех воз¬ можных (поскольку поиск невозможен быстрее чем за log 2 n опера¬ ций).

Новый элемент всегда добавляется в дерево в соответствии с упорядоченностью как левый или правый сын некоторой вершины, у которой данного сына до этого не было (или, как мы считаем, сын являлся внешним). Новая вершина добавляется как терминальная. После этого выполняется процедура восстановления балансировки. В ней используются следующие элементарные преобразования дерева, сохраняющие упорядоченность вершин:

1) вращение вершины x поддерева влево:

Здесь вершина x поддерева, которая является его корнем, опус­ кается вниз и влево. Бывший правый сын d вершины x стано¬ вится новым корнем поддерева, а x становится левым сыном d. (Вершины x и d, «начальник» и «подчиненный», как бы ме¬ няются ролями: бывший начальник становится подчиненным.) Поддерево с, которое было левым сыном вершины d, перехо¬ дит в подчинение от вершины d к вершине x и становится ее правым сыном. Отметим, что упорядоченность вершин сохраня¬ ется: a<b<c<d<e. Таким образом, для выполнения преоб-