Основы программирования. Борисенко

Команда setlinewidth имеет один аргумент, который помещается на стек перед ее вызовом. При выполнении команды он снимается со стека, и толщина линии устанавливается равной числу, снятому со стека.

Третья строка перемещает текущую позицию в точку с коорди­ натами x = 1, у = 15.

(В качестве единиц используются миллиметры, начало координат на¬ ходится в левом нижнем углу страницы.) В стек сначала добавля¬ ются два числа, соответствующие координатам x и y, и затем вы¬ полняется команда moveto, которая снимает два числа со стека и перемещает курсор в точку, координаты которой были получены из стека.

Большинство строк программы понятны благодаря комментариям, которые в языке PostScript можно записывать в конце любой строки после символа %. Отметим две конструкции, которые использованы в программе. Фрагмент

/Func {

30 sub 0.2 mul 57.296 mul s i n 5 mul 15 add } def

определяет функцию с именем Func. Ф у н к ц и ю затем можно вызвать, просто записав ее имя, как это делается, например, в строке

30 sub 0.2 mul 57.296 mul s i n 5 mul 15 add

Ф у н к ц и я вызывается при условии, что ее аргумент x находится на вершине стека. В результате выполнения тела функции вершина сте¬ ка заменяется на выражение

5 • sin((x - 30) • 0.2 • 57.296) + 15

Здесь используются масштабирующие множители, чтобы график вы¬ глядел красиво на печати. Так, масштаб по обеим осям равен 5 мм, поэтому мы умножаем значение sin на 5, а аргумент sin на 0.2, т.е. на 1/5. Центр графика смещается в точку с координатами (30,15), поэтому мы прибавляем к значению sin число 15, а от аргумента вычитаем 30. Наконец, аргумент функции sin в языке PostScript за­ дается в градусах. Чтобы перейти от радианов к градусам, мы умно­ жаем агрумент в радианах на множитель 57.296 = 180/п . Сравните выражения:

5 • sin((x - 30) • 0.2 • 57.296) + 15

x 30 sub 0.2 mul 57.296 mul s i n 5 mul 15 add

Первое представляет собой обычную запись формулы, второе — обратную польскую запись.

Фрагмент

ла удваивается командой dup, после ее выполнения в вершине стека будут лежать два одинаковых значения x, x. Затем вызывается функ¬ ция Func, которая заменяет значение x в вершине стека на у, где у равно значению функции . Затем проводится линия от предыдущей точки к точке (x,y). При этом команда lineto удаляет оба значения x, у из стека.

Язык PostScript является достаточно мощным языком програм¬ мирования, в нем есть переменные, функции, циклы, условный опе¬ ратор и т.п. Используемая в нем обратная польская запись очень удобна дл я выполнения на компьютере. Поэтому интерпретатор язы¬ ка PostScript легко встраивается в конструкцию принтера (который,

ную польскую запись, был тоже первоначально разработан для про¬ граммирования недорогих бытовых приборов. Стековый вычислитель устроен просто и может быть применен там, где быстродействие не играет особой роли, зато важна скорость и дешевизна разработки программы и аппаратуры.

4.5.Ссылочные реализации структур данных

Большинство структур данных реализуется на базе массива. Все реализации можно разделить на два класса: непрерывные и ссылоч¬ ные. В непрерывных реализациях элементы структуры данных рас¬ полагаются последовательно друг за другом в непрерывном отрезке массива, причем порядок их расположения в массиве соответствует их порядку в реализуемой структуре. Рассмотренные выше реализа¬ ции очереди и стека относятся к непрерывным.

нятся ссылки на один или несколько соседних элементов. В качестве ссылок могут выступать либо индексы ячеек массива, либо адреса памяти. М о ж н о представить себе шпионскую сеть, в которой каж¬ дый участник знает лишь координаты одного или двух своих коллег. Контрразведчикам, чтобы обезвредить сеть, нужно пройти последо¬ вательно по всей цепочке, начиная с выявленного шпиона.

Ссылочные реализации обладают двумя ярко выраженными недо¬ статками: 1) для хранения ссылок требуется дополнительная память; 2) для доступа к некоторому элементу структуры необходимо снача¬ ла добраться до него, проходя последовательтно по цепочке других элементов. Казалось бы, зачем нужны такие реализации?

Все недостатки ссылочных реализаций компенсируются одним чрезвычайно в а ж н ы м достоинством: в них можно добавлять и уда¬ лять элементы в середине структуры данных, не перемещая осталь¬ ные элементы.

4.5.1.Массовые операции

Массовые операции — это операции, затрагивающие значитель¬ ную часть всех элементов структуры данных. Пусть нужно добавить или удалить один элемент. Если при этом приходится, например, переписывать значительную часть остальных элементов с одного ме¬ ста на другое, то говорят, что добавление или удаление приводит к массовым операциям. Массовые операции — это бедствие для про¬ граммиста, то, чего он всегда стремится избежать . Хорошая реали¬ зация структуры данных — та, в которой массовых операций либо нет совсем, либо они происходят очень редко. Например, добавление элемента должно выполняться за ограниченное число шагов, неза¬ висимо от того, содержит ли структура десять или десять тысяч элементов.

Внепрерывных реализациях добавление или удаление элементов

всередине структуры неизбежно приводит к массовым операциям. Поэтому структуры, в которых можно удалять или добавлять эле¬ менты в середине, обязательно должны быть реализованы ссылоч¬ ным образом.

Пр и м ер неудачного использования непрерывных реализаций — фай ­

ловые системы в некоторых старых операционных системах, напри­

рах «Электроника» и т.п. В современных файловых системах файлы фрагментированы, т.е. кусочки большого файла, непрерывного с точ­ ки зрения пользователя,на самом деле могут быть «разбросаны» по

тированным, т.е. состоящим из множества небольших кусков. Возни­ кала ситуация, когда большой файл невозможно записать на диск: хотя свободного места в сумме много, нет достаточно большого сво¬ бодного фрагмента . Приходилось постоянно выполять длительную и опасную процедуру с ж а т и я диска, которая часто приводила к потере всех данных на нем.

4.5.2.Список

Классический пример структуры данных последовательного до¬ ступа, в которой можно удалять и добавлять элементы в середине структуры, — это линейный список. Различают однонаправленный и двунаправленный списки (иногда говорят односвязный и двусвязный).

Элемены списка как бы выстроены в цепочку друг за другом. У списка есть начало и конец. Имеется также указатель списка, ко¬ торый располагается между элементами. Если мысленно вообразить, что соседние элементы списка связаны между собой веревкой, то указатель — это ленточка, которая вешается на веревку. В любой момент времени в списке доступны лишь два элемента — элементы до указателя и за указателем.

у к а з а т е л ь

1

Кроме того, можно установить указатель в начало списка, перед его первым элементом. В отличие от однонаправленного списка, двуна¬ правленный абсолютно симметричен, указатель в нем можно пере¬

какой-то элемент, что упрощает процедуры добавления и удаления элементов.

В двунаправленном списке считают, что вслед за последним эле¬ ментом списка вновь следует голова списка, т.е. список зациклен в

кольцо.

« о

Можно было бы точно так ж е зациклить и однонаправленной список. Но гораздо чаще считают, что за последним элементом одно­ направленного списка ничего не следует. Однонаправленный список, таким образом, представляет собой цепочку, начинающуюся с головы списка, за которой следует первый элемент, затем второй и так далее вплоть до последнего элемента, а заканчивается цепочка ссылкой в никуда.

null

4.5.3.Ссылочная реализация списка

М ы рассмотрели абстрактное понятие списка. Но в программи¬ ровании зачастую отождествляют понятие списка с его ссылочной реализацией на базе массива или непосредственно на базе оператив¬ ной памяти.

Основная идея реализации двунаправленного списка заключается в том, что вместе с к а ж д ы м элементом хранятся ссылки на следую­ щий и предыдущий элементы. В случае реализации на базе массива ссылки представляют собой индексы ячеек массива. Чаще, однако, элементы списка не располагают в каком-либо массиве, а просто раз¬

нужного размера, а после использования освобождать, т.е. возвра¬ щать обратно в кучу.) В качестве ссылок в этом случае используют адреса элементов в оперативной памяти.

Голова списка хранит ссылки на первый и последний элементы списка. Поскольку список зациклен в кольцо, то следующим за го¬ ловой списка будет его первый элемент, а предыдущим — последний элемент. Голова списка хранит только ссылки и не хранит никакого

элемента. Это как бы пустой ящик, в который нельзя ничего поло¬ жить и который используется только для того, чтобы написать на нем адреса следующего и предыдущего ящиков, т.е. первого и последнего элементов списка. Когда список пуст, голова списка зациклена сама на себя.

Указатель списка реализуется в виде ссылки на следующий и предыдущий элементы, он просто отмечает некоторое место в цепоч¬ ке элементов.

В случае однонаправленного списка хранится только ссылка на следующий элемент, таким способом экономится память. Голова од¬ нонаправленного списка хранит ссылку на первый элемент списка. Последний элемент списка хранит нулевую ссылку, т.е. ссылку «в никуда», т.к. в программах нулевой адрес никогда не используется.

Ценность ссылочной реализации списка состоит в том, что про¬ цедуры добавления и удаления элементов не приводят к массовым операциям. Рассмотрим, например, операцию удаления элемента за указателем. Читая ссылку на следующий элемент в удаляемом эле¬ менте, мы находим, какой элемент должен будет следовать за ука¬ зателем после удаления текущего элемента. После этого достаточно «связать» элемент до указателя с новым элементом за указателем. А именно, обозначим через X адрес элемента до указателя, через Y — адрес нового элемента за указателем. В поле «следующий» для эле¬ мента с адресом X надо записать значение Y , в поле «предыдущий» для элемента с адресом Y — значение X . Таким образом, при удале¬ нии элемента за указателем он исключается из цепочки списка, для этого достаточно лишь поменять ссылки в двух соседних элементах. Аналогично, для добавления элемента достаточно включить его в це¬ почку, а для этого также нужно всего лишь модифицировать ссылки в двух соседних элементах. Добавляемый элемент может распола¬ гаться где угодно, следовательно, нет никаких проблем с захватом и освобождением памяти под элементы.

4.5.4.Деревья и графы

Граф — это фигура, которая состоит из вершин и ребер, соеди¬ няющих вершины. Например, схема линий метро — это граф. Ре¬ бра могут иметь направления, т.е. изображаться стрелочками; та¬ кие графы называются ориентированными. Допустим, надо постро-

ить схему автомобильного движения по улицам города. Почти во всех городах есть много улиц с односторонним движением. Поэтому такая транспортная схема должна представляться ориентированным графом. Улице с односторонним движением соответствует стрелка, с двусторонним — пара стрелок в противоположных направлениях. Вершины такого графа соответствуют перекресткам и тупикам.

Дерево — это связный граф без циклов. Кроме того, в дереве вы¬ делена одна вершина, которая называется корнем дерева. Остальные вершины упорядочиваются по длине пути от корня дерева.

Зафиксируем некоторую вершину X . Вершины, соединенные с X ребрами и расположенные дальше нее от корня дерева, называются «детьми» или «сыновьями» вершины X . Сыновья упорядочены слева направо. Вершины, у которых нет сыновей, называются терминаль¬ ными. Дерево обычно изображают перевернутым, корнем вверх.

Деревья в программировании используются значительно чаще, чем графы. Так, на построении дереьев основаны многие алгоритмы сортировки и поиска. Компиляторы в процессе перевода программы с языка высокого уровня на машинный язык представляют фрагмен¬ ты программы в виде деревьев, которые называются синтаксически¬ ми. Деревья естественно применять всюду, где имеются какие-либо иерархические структуры, т.е. структуры, которые могут вкладывать¬ ся друг в друга. Примером может служить оглавление книги.

Пусть книга состоит из частей, части — из глав, главы — из пара­ графов. Сама книга представляется корнем дерева, из которого выхо­ дят ребра к вершинам, соответствующим частям книги. В свою оче­ редь, из каждой вершины-части книги выходят ребра к вершинамглавам, входящим в эту часть, и так далее. Файловую систему ком¬ пьютера также можно представить в виде дерева. Вершинам соответ¬ ствуют каталоги (их также называют директориями или папками) и файлы. Из вершины-каталога выходят ребра к вершинам, соответ¬ ствующим всем каталогам и файлам, которые содержатся в данном каталоге. Файлы представляются терминальными вершинами дере¬ ва. Корню дерева соответствует корневой каталог диска. Программы, осуществляющие работу с файлами, такие, как Norton Commander в системе M S D O S или «Проводник» Windows, могут изображать файловую систему графически в виде дерева.

Ссылочные реализации как будто специально придуманы для ре­ ализации деревьев. Вершина дерева представляется в виде объекта, содержащего ссылки на родительскую вершину и на всех сыновей, а также некоторую дополнительную информацию, зависящую от кон¬ кретной задачи. Объект, представляющий вершину дерева, занимает область фиксированного размера, которая обычно размещается в ди¬ намической памяти. Число сыновей обычно ограничено, исходя из смысла решаемой задачи. Так, очень часто рассматриваются бинар¬ ные деревья, в которых число сыновей у произвольной вершины не превышает двух. Если один или несколько сыновей у вершины от¬ сутствуют, то соответствующие ссылки содержат нулевые значения. Таким образом, у терминальных вершин все ссылки на сыновей ну-

290 4.5. Ссылочные реализации

левые.

При работе с деревьями очень часто используются рекурсивные алгоритмы, т.е. алгоритмы, которые могут вызывать сами себя. При вызове алгоритма ему передается в качестве параметра ссылка на вершину дерева, которая рассматривается как корень поддерева, рас¬ тущего из этой вершины. Если вершина терминальная, т.е. у нее нет

ти алгоритма. В главе, посвященной языку Си, у ж е был рассмотрен простейший рекурсивный алгоритм, подсчитывающий число терми¬ нальных вершин бинарного дерева (см. с. 181).

Н и ж е приведен еще один рекурсивный алгоритм, определяющий

чая первую и последнюю вершины. Так, дерево, состоящее из одной