§ 3.2. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

При перемещении заряда в электростатическом поле совершается работа, т.к. на заряд со стороны поля действует сила. Силы электростатического поля являются консервативными, поскольку работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется только положением начальной и конечной точек пути. Покажем это. Пусть точечный заряд +q₀ перемещается в поле неподвижного точечного заряда +q в вакууме из точки 1 в точку 2. Работа кулоновской силы, действующей на заряд со стороны зарядана элементарном пути:. По закону Кулона,. Тогда. То есть работа определяется только положением точек 1 и 2.

В механике мы определили, что консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только координатой начального и конечного положения материальной точки. Поле консервативных сил потенциально. Для потенциальных полей можно ввести понятия потенциала и разности потенциалов.

Потенциал данной точки поля численно равен работе сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Обозначается потенциал φ и в СИ измеряется в вольтах (В).

Разность потенциалов φ₁-φ₂ между точками 1 и 2 численно равна работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2: A₁₂ = q₀ (φ₁-φ₂). Ранее была получена формула для работы поля точечного заряда q по перемещению из точки 1 в точку 2 заряда q₀: . С другой стороныA₁₂ = q₀^.(φ₁-φ₂). Следовательно, . Отсюда находим выражение для потенциала поля точечного зарядаq в вакууме: .

Принцип суперпозиции полей: потенциал электростатического поля, создаваемого системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности _.

Потенциальная энергия заряда q₀ в точке электростатического поля с потенциалом φ: W_П = q₀^.φ. Это значит, что потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля.

Работа сил поля по перемещению заряда q₀ на отрезке пути : , где - проекция векторана перемещение. С другой стороны, эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда:. Приравнивая правые части, получаем, что, отсюда, что означает: проекция вектора напряжённости электростатического поля на некоторое произвольное направление равна производной от потенциала по этому направлению с обратным знаком, где- быстрота изменения потенциала в данном направлении. В силу произвольности выбора направления, можно записать, или:. Эта формула выражает связь напряжённости электростатического поля с потенциалом: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с противоположным знаком. Знак минус означает, что напряжённость поля направлена в сторону убывания потенциала.

Таким образом, если известно значение потенциала φ в каждой точке поля, то можно найти напряжённость в каждой точке поля и решить обратную задачу, т.е. по заданным значениям в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля:, отсюда. Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, т.к. работа не зависит от формы пути.

Рассмотрим однородное поле и найдём разность потенциалов между точками 1 и 2. Разделим путь между точками на два участка 1 – 1^I – вдоль силовой линии и 1^I – 2 – перпендикулярно силовой линии. Ну участке 1 – 1^I проекция вектора а на участке 1^I – 2 , поэтому, гдеd – расстояние между точками 1 и 2 вдоль силовой линии. Итак, или

Эти формулы выражают связь между напряжённостью и потенциалом только для однородного электрического поля.

Для графического изображения электростатического поля также служат эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Они проводятся так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была всюду одна и та же. Таким образом, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем больше в данном месте grad φ и, следовательно, больше напряжённость . Для однородного поля эквипотенциальные поверхности – это параллельные плоскости перпендикулярные силовым линиям поля.

Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, т.к. работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, и, следовательно, сила, действующая на заряд перпендикулярна его перемещению.