- •§ 3. Предел функции. Вычисление пределов
- •Неопределенность типа
- •Неопределенность типа
- •Простейшие иррациональные выражения
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •§ 4. Непрерывные функции. Точки разрыва
- •Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Производная
Второй замечательный предел
Предел функции присуществует и равен числуe. Число имеет значениеи является основанием системы натуральных логарифмов; т.е.
. (1)
Этот предел называют вторым замечательным пределом.
Если в (1) положить , то приполучими тогда (1) примет вид:
.
Пример
Найти предел:
Решение:
При подстановке получаем неопределенность типа 1. Поэтому выражение под знаком предела преобразуем так, чтобы задача сводилась ко второму замечательному пределу.
==, так как
=, где, а показатель степени.
Пример
Найти предел: .
Решение:
======.
§ 4. Непрерывные функции. Точки разрыва
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х = а, если она определена в этой точке и существует , причем.
Определение 2. Функция называется непрерывной в интервале, если она определена в этом интервале и непрерывна в каждой его точке.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке x0 , если:
1) она определена в этой точке;
2) должны существовать односторонние пределы
и они должны быть одинаковыми;
3) эти пределы должны быть равны f(x0)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной.
Для выяснения характера разрыва следует найти пределы функции f(x) при слева и справа, то есть односторонние пределы.
Различают 2 основных вида разрывов:
1) разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы
, при этом
А) , то точканазывается точкой устранимого разрыва.
Б) , тоесть длина скачка функции .
2) разрыв II рода – когда хотя бы один односторонний предел равен .
Пример
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций
а)б).
Решение:
a) Данная функция определена во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точке x = 3 функция не определена и поэтому разрывна. Для исследования характера разрыва найдем односторонние пределы при x 3.
Следовательно, функция в точкеx = 3 имеет бесконечный разрыв, то есть x = 3 – точка разрыва II рода.
б) Здесь функция определена при всех значениях x, кроме x = 0.
Вычислим односторонние пределы при x 0.
Следовательно, точка x = 0 – точка разрыва I рода.
Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
§ 1. Производная
Пусть некоторая функция определена и непрерывна в некотором интервале (a, b) и . Рассмотрим произвольную точку. Обозначим разность.х будем называть приращением независимой переменной х. Разность будем называть приращением функции, соответствующим приращению независимой переменнойх (см. рис. 1). Так как х является переменной величиной, то и приращение х является переменной величиной (отметим, что, в силу произвольности выбора х, разность может быть и отрицательной).
Определение 1. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента , то он называетсяпроизводной функции .
Обозначения:
Пример
Лесоводы обнаружили, что образующая ствола европейской сосны достаточно хорошо аппроксимируется уравнением
,
где (х < 1), у – радиус поперечного сечения ствола, l – расстояние от этого сечения до комля, H – высота ствола, а – радиус ствола в его середине. Исследуйте функцию у(х) и убедитесь, что ее свойства соответствуют нашим наглядным представлениям о древесном стволе (функция убывает, вначале она выпукла вниз, затем вверх). Постройте схематический график функции.