Неопределенность типа

Чтобы найти предел дробной рациональной функции при, необходимо подставитьв числитель и знаменатель дроби. Если при этом получится неопределенное выражение вида, то необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на, где– наивысшая степень знаменателя.

Пример

Найти предел функции: .

Решение:

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида. Разделив начислитель и знаменатель дроби, получаем:

=

так как при каждая из дробей,,,стремится к нулю.

Пример

Найти предел: .

Решение:

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида. Разделив числитель и знаменатель дроби на(наивысшая степень знаменателя), получаем:

=.

Пример

Найти предел: .

Решение:

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида. Разделив числитель и знаменатель дроби на(наивысшая степень знаменателя), получаем:

=.

Таким образом, если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел при равен нулю; если степень знаменателя меньше степени числителя, то предел приравен бесконечности ().

Неопределенность типа

Пример

Найти предел:

Решение:

Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай ); затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.

1) Раскладываем знаменатель на множители и сокращаем дробь на :

.

Вообще, если ищется предел функции при , то необходимо помнить, чтоне принимает значения, т.е.и.

Пример

Найти предел:

Решение:

Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле

,

где и– корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на:

.

Пример

Найти предел: .

Решение:

Сначала подставим в функции предельное значение и убедимся, что имеем неопределенность вида .

Тогда получаем

=.

В этом примере разложение на множители осуществлялось вынесением за скобку общего множителя.

Простейшие иррациональные выражения

Пример

Найти предел

Решение:

Так как непосредственная подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность вида, то для ее раскрытия следует уничтожить иррациональность в числителе. Для этого умножим и числитель и знаменатель на множитель, сопряженный числителю, т.е. на сумму, получим:

======.

При вычислениях мы воспользовались формулой сокращенного умножения .

Пример

Вычислить предел .

Решение:

Так как непосредственная подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность типа, то для ее раскрытия необходимо избавиться от иррациональности в числителе и знаменателе:

==

=.

Пример

Найти предел .

Решение:

При подстановке предельного значения получаем разность двух бесконечно больших величин, т.е. неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим и разделим данное выражение на сопряженное, т.е.

==.

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

, или .

Пример

Найти предел

Решение:

Подставляя предельное значение аргумента , получаем неопределенность вида. Домножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, имеем:

= =

Пример

Найти предел .

Решение:

=== =.

Пример

Найти предел .

Решение:

===.

Пример

Найти предел .

Решение:

Так как , то

====.