Высшая математика / 5_34-45

Решение: .

Теорема 2. Если и , то

, .

Пример

Найти , если , .

Решение: .

Теорема 3. Если , то , тогда векторы и коллинеарны. (См. Теорема 1 § 2, условие коллинеарности векторов (стр.27)).

Условие коллинеарности векторов: .

Пример

Проверить коллинеарность векторов и , если ,

Решение:

Проверим условие коллинеарности векторов , имеем . Равенства справедливы, следовательно, векторы и коллинеарны.

Пример

Найти , если , .

Решение:

;

.

Пусть , ,  – углы между вектором и осями Ох, Oy, Oz соответственно (cм. рис. 16).

Рис. 16

Тогда по свойству 2 проекции вектора на ось (см. § 3), , , .

Определение 3. cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора .

Теорема 4. .

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка М с координатами x, y, z делит отрезок

в отношении  > 0, если отношение длин отрезков и равно  (т.е.).

Теорема 5. Координаты точки М, делящей отрезок в отношении , находятся по формулам:

, , .

Пример

Для точек и найти координаты точки М, делящей отрезок в отношении 3 (т.е. ).

Решение:

Воспользуемся последними формулами, подставив в них числовые данные:

, , .

Таким образом, точка М имеет координаты (0; 2; 1).

§ 6. Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется

число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними: . (1)

Отметим, что если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: . Из определения скалярного произведения следует, что если острый, то ; если тупой, то . Из (1) вытекает, что . Заметим также, что в силу свойства проекции вектора на ось или вектор справедливо равенство .

Некоторые свойства скалярного произведения

1.

2.

3.

4.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле: .

Тогда свойство 4 (условие перпендикулярности векторов) имеет вид

.

Скалярное произведение позволяет находить угол между векторами,

координаты которых известны. Из определения скалярного произведения имеем:

.

Пример

Даны точки , , . Найти координаты и модуль вектора и угол между векторами и .

Решение:

Найдём координаты векторов , и : ; ; .

Найдем координаты вектора :

Найдем модуль вектора : .

Найдем косинус = :

.

Построение

Построим точки . Из точки построим вектор , из точки построим вектор , соединив точки и , получим искомый вектор .

Таким образом, , , тогда

Построение можно сделать по-другому (зависит от удобства построения). В начало координат поместим начало вектора и начало вектора , тогда .

§ 7. Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор (рис. 17) такой, что:

1) ;

2) перпендикулярен к плоскости векторов и ;

3) образует с упорядоченной парой векторов и правую тройку (т.е. если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки).

Рис. 17

Геометрический смысл векторного произведения: Модуль векторного произведения численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Из определения векторного произведения следует (см. рис. 18), что

.

Рис. 18

Теорема. Векторное произведение векторов и вычисляется по формуле:

.

§ 8. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор или вектора на вектор .

Будем обозначать: .

Геометрический смысл смешанного произведения: Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Действительно, обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость (см. рис. 19). Тогда

.

Теорема 1. тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

Рис. 19

Теорема 2. Пусть , ,. Тогда

.

Пример

Найти объём пирамиды АВСD, где А(2;-3;1), В(4;7;0), С(5;5;-7), D(1,1,1).

Решение: Найдём координаты векторов :

,

,

.

Из школьной программы по геометрии известно, что объём тетраэдра, построенного на векторах , есть одна шестая часть параллелепипеда, построенного на этих векторах. Поэтому, в силу теоремы 2,

=

Глава 3. Элементы аналитической

геометрии

Аналитическая геометрия – раздел математики, изучающий геометрию методами алгебры, то есть геометрические объекты описываются уравнениями.

Уравнением линии на плоскости называется уравнение, связывающее и , которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии.

§ 1. Прямая на плоскости

Пусть на плоскости задана некоторая прямая l и декартова система координат.

1. Положение прямой l на плоскости однозначно определено, если задана некоторая точка , принадлежащая прямой l, и некоторый вектор , перпендикулярный этой прямой (рис. 1).

Пусть – произвольная точка прямой. Тогда вектор будет перпендикулярен вектору и, следовательно, . Так как

, , то получим уравнение

. (1)

Отметим, что вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через точку М₀ перпендикулярно нормальному вектору .

2. Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить: , то получим общее уравнение прямой:

. (2)

Пусть заданы прямые l₁: и l₂: . Тогда для того чтобы l₁||l₂ (l₁l₂), необходимо и достаточно, чтобы .

3. В уравнении (2) выразим переменную y, то есть . Введя новые обозначения , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

, (3)

известное из школьной программы как уравнение линейной функции (графиком которой является прямая). Здесь ,  – угол между прямой и положительным направлением оси Ох, b – ордината точки пересечения прямой и оси Оу (cм. рис. 2).

43