Упражнения для самостоятельного решения

Упражнение 2.1.Сколько двоичных знаков необходимо и достаточно для того, чтобы закодировать одну школьную оценку?

Упражнение 2.2.Шахматная доска состоит из 64 полей: 8 столбцов на 8 строк. Какое минимальное ко­личество бит потребуется для кодирования координат одного шахматного поля?

Упражнение 2.3.Метеорологическая станция ведет наблюдение за атмосферным давлением. Результа­том одного измерения является целое число, принимающее значение от 720 до 780 мм ртутного столба, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов на­блюдений.

Упражнение 2.4.В велокроссе участвуют 779 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с ис­пользованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спорт­смена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 280 велосипедистов?

Упражнение 2.5.В некоторой стране автомобильный номер длиной 7 символов со­став­ля­ют из заглавных букв (используются только 22 различные буквы) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый такой номер в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объем памяти, отводимый этой программой для записи 50 номеров.

§ 3. Определение информационного объема и параметров растрового изображения

Для определения информационного объема изображения прежде всего необходимо выяснить, какое количество бит требуется для кодирования каждой точки. Иногда это количество указывается явным образом, но чаще его приходится определять, исходя из числа цветов в изображении. А это — ни что иное, как частный случай задачи из предыдущего параграфа.

Согласно утверждению 2.1, если для получения растрового изображения используется Xцветов, то для кодирования каждой точки изображения (пикселя) требуется не менееNlog₂Xбит. Отсюда получаем

Утверждение 3.1.Если изображение имеет размерWHпикселей и для его получения используетсяXцветов, то информационный объем изображения равенHWlog₂Xбит.

Совет.Чаще всего при кодировании цветных изображений на каждую точку отводят 1, 2, 3 или 4 байта. При этом количество цветов оказывается рав­ным 2⁸256, 2¹⁶65 536, 2²⁴16 777 216 и 2³²4 294 967 296, соответственно. Эти числа являются настолько стандартными, что при упоминании их обычно округляют и говорят о 65 тысячах, 16 миллионах и 4 миллиардах цветов. На самом же деле имеются в виду именно те значения, которые указаны выше.

Рассмотрим теперь несколько следствий из утверждения 3.1.

Утверждение 3.2.Если известен информационный объемVизображения (в битах) и количествоXиспользуемых этим изображением цветов, то количество точек изображения равноV/log₂X.

Утверждение 3.3.Если известен информационный объемVи размерыWиHизображения (в битах и пикселях, соответственно), то для кодирования каждой точки используетсяNV/WHбит и потому количество цветов, используемых в изображении, равно 2^N.

Утверждение 3.4.Предположим, что в результате преобразования количество цветов растрового изображения изменилось сXнаY. Тогда его информационный объем увеличился вlog₂Ylog₂Xраз, еслиXY, и уменьшился вlog₂Xlog₂Yраз, еслиYX.

(Действительно, информационный объем изображения до преобразования равен HWlog₂Xбит, после преобразования —HWlog₂Yбит. Следовательно, отношение объемов равноHWlog₂YHWlog₂Xlog₂Ylog₂X.)

Задача 3.1.Укажите минимальный объем памяти (в килобайтах), достаточный для хранения лю­бого растрового изображения размером 6464 пикселя, если известно, что в изображении используется палитра из 256 цветов. Саму палитру хранить не нужно.

Решение.Согласно утверждению 3.1 информационный объем указанного изображения в битах равен 6464log₂25632786. В байтах это составляет 4096, в килобайтах — 4 (1 Кбайт1024 байт).

Ответ:4 Кбайт.

Задача 3.2.Черно-белое изображение файла типаBMPимеет размер 1024768 пикселей. Определите информационную емкость файла.

Решение.ФорматBMPне использует сжатие, поэтому к файлам этого формата применимо утверждение 3.1. В условии без каких-либо дополнительных замечаний сказано, что изображение является черно-белым. Значит, оно использует лишь два цвета: черный и белый. Таким образом, информационная емкость файла равна 7681024log₂2786 432 бит.

Ответ:786 432 бит98304 байт96 Кбайт.

Замечание.В действительности, кроме собственно цветов точек,BMP-файл хранит также некоторую служебную информацию об изображении в целом, например, его высоту и ширину. Поэтому размер файла (с точки зрения файловой системы) будет несколько больше величины, указанной в ответе.

Задача 3.3.Каков минимальный объем памяти (в байтах), достаточный для хра­не­ния любого чер­но-белого растрового изображения размером 3232 пикселя, ес­ли известно, что в изобра­жении используется не более 16 градаций серого цвета.

Решение.Хотя изображение, как и в предыдущей задаче, является черно-белым, в условии сказано дополнительно, что используется число цветов, большее 2, а именно 16. Здесь нет противоречия, так как черно-белыми принято называть и изображения, содержащие различные оттенки серого. Информационный объем определяется в соответствии с утверждением 3.1 и составляет 3232log₂164096 бит.

Ответ:4096 бит512 байт.

Задача 3.4.Какой объем памяти видеокарты займет изображение 32-раз­ряд­но­го файла типаBMP, экранный размер которого 1024768 пикселей?

Решение.В этой задаче разрядность файла, т. е. количество бит, используемых для кодирования каждого пикселя, указана явно. Поэтому для определения информационного объема изображения достаточно просто умножить ее на количество точек: 76810243225 165 824 бит. Заметим, что количество цветов в данном изображении равно 2³²4 294 967 296.

Ответ:25 165 824 бит3 145 728 байт3072 Кбайт3 Мбайт.

Задача 3.5.Сколько секунд потребуется модему, передающему сообщения со скоростью 28800 бит/с, чтобы передать цветное растровое изображение размером 800600 пикселей, при условии, что в палитре 16 миллионов цветов?

Решение.В этой задаче сначала нужно определить объем передаваемой информации, а уже затем — время, необходимое для ее передачи. Хотя в условии речь идет о палитре из 16 миллионов цветов, в действительности имеются в виду 2²⁴16 777 216 цветов. Таким образом, информационный объем изображения равен 600800log₂16 777 21611 520 000 бит. Разделив его на скорость передачи, получаем, что время передачи составит 11 520 000  28800  400 с.

Ответ:400 с.

Задача 3.6.256-цветный рисунок содержит 1 Кбайт информации. Из какого количества точек он состоит?

Решение.Воспользуемся утверждением 3.2. Информационный объем рисунка в битах составляет 1102488192, поэтому количество точек в нем равно 8192log₂2561024.

Ответ:1024 точки.

Задача 3.7.Для хранения растрового изображения размером 6464 пикселя отвели 1,5 килобайта памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Решение.Согласно условию информационный объем изображения в битах составляет 1,51024812288. Следуя утверждению 3.3, получаем отсюда, что для кодирования каждой точки используется 12288(6464)3 бита и потому количество цветов в палитре составляет 2³8.

Ответ:8 цветов.

Задача 3.8. Цветное изображение, использующее 16 цветов, преобразо­ва­но в черно-белое. Как изменится информационный объем гра­фического файла?

Решение. Здесь снова речь идет о черно-белом изображении без указания числа градаций серого, поэтому количество цветов после преобразования равно двум. Так как это меньше, чем было до преобразования, то в силу утверждения 3.3 информационный объем файла уменьшится в log₂  16  log₂  2  4 раза.

Ответ:уменьшится в 4 раза.