Винберг Курс алгебры

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

5

Предисловие ко второму изданию

6

Глава 1. Алгебраические структуры

7

§ 1. Введение

7

§ 2. Абелевы группы

10

§ 3. Кольца и поля

14

§ 4. Подгруппы, подкольца и подполя

17

§ 5. Поле комплексных чисел

19

§ 6. Кольца вычетов

25

§ 7. Векторные пространства

31

§ 8. Алгебры

35

§ 9. Алгебра матриц

38

Глава 2. Начала линейной алгебры

43

§ 1. Системы линейных уравнений

43

§ 2. Базис и размерность векторного пространства

52

§ 3. Линейные отображения

62

§ 4. Определители

73

§ 5. Некоторые приложения определителей

86

Глава 3. Начала алгебры многочленов

90

§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов

90

§ 2. Общие свойства корней многочленов

96

§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел

103

§ 4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами

107

§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах

113

§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами

119

§ 7. Многочлены от нескольких переменных

122

§ 8. Симметрические многочлены

127

§ 9. Кубические уравнения

136

§ 10. Поле рациональных дробей

141

Глава 4. Начала теории групп

147

§ 1. Определение и примеры

147

§ 2. Группы в геометрии и физике

154

§ 3. Циклические группы

159

§ 4. Системы порождающих

164

§ 5. Разбиение на смежные классы

167

§ 6. Гомоморфизмы

175

Глава 5. Векторные пространства

183

§ 1. Взаимное расположение подпространств

183

§ 2. Линейные функции

187

§ 3. Билинейные и квадратичные функции

191

§ 4. Евклидовы пространства

202

§ 5. Эрмитовы пространства

210

Глава 6. Линейные операторы

214

§ 1. Матрица линейного оператора

214

§ 2. Собственные векторы

220

§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом

пространстве

226

§ 4. Жорданова форма

237

§ 5. Функции от линейного оператора

244

Глава 7. Аффинные и проективные пространства

254

§ 1. Аффинные пространства

254

§ 2. Выпуклые множества

263

§ 3. Аффинные преобразования и движения

273

§ 4. Квадрики

283

§ 5. Проективные пространства

297

Глава 8. Тензорная алгебра

311

§ 1. Тензорное произведение векторных пространств

311

§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства

319

§ 3. Симметрическая алгебра

326

§ 4. Алгебра Грассмана

332

Глава 9. Коммутативные кольца

342

§ 1. Абелевы группы

342

§ 2. Идеалы и факторкольца

355

§ 3. Модули над кольцами главных идеалов

364

§ 2. Нётеровы кольца

372

§ 3. Алгебраические расширения

375

§ 4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические

388

многообразия

§ 5. Разложение на простые множители

400

Глава 10. Группы

409

§ 1. Прямые и полупрямые произведения

409

§ 2. Коммутант

416

§ 3. Действия

419

§ 4. Теоремы Силова

426

§ 5. Простые группы

428

§ 6. Расширения Галуа

433

§ 7. Основная теорема теории Галуа

438

Глава 11. Линейные представления и ассоциативные алгебры

445

§ 1. Инвариантные подпространства

445

§ 2. Полная приводимость линейных представлений

458

§ 3. Конечномерные ассоциативные алгебры

462

§ 4. Линейные представления конечных групп

470

§ 5. Инварианты

482

§ 6. Алгебры с делением

488

Глава 12. Группы Ли

501

§ 1 . Определение и простейшие свойства групп Ли

502

§ 2. Экспоненциальное отображение

508

§ 3. Касательная алгебра Ли и присоединенное представление

512

§ 4. Линейные представления групп Ли

618

Ответы к задачам

525

Словарь сокращений

529

Список литературы

530

Указатель обозначений

531

Предметный указатель

534

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм группы 176, 411

— линейных операторов 219, 465,

— внутренний 412

467

— алгебраической структуры 23

— матриц 40, 41, 187, 359, 513

алгебра 35, 36, 358, 491

— многочленов 90, 91

— альтернативная 499, 500

— многочленов на алгебраическом

— — ассоциативная полупростая

многообразии 393

464, 470, 491

— многочленов от нескольких

— простая 467, 468

переменных 122-124, 187, 388,

— — внешняя векторного

396

пространства 334

— нильпотентная 462

— градуированная 187

— октав 499, 500

— Грассмана (см. алгебра внешняя)

— полилинейных функций 325

334

— расщепимся 494

— групповая 470, 471, 473, 474

— с делением 488, 490, 492-495

— инвариантов 483, 484, 486

— с единицей 358

— кватернионов 37, 42, 56

— — симметрическая векторного

— — обобщенная 489, 490, 494

пространства 328, 329

— конечно порожденная 388-391,394

— суперкоммутативная 334

— Кэли (см. алгебра октав) 499, 500

— тензорная 325

— Ли 513

— формальных степенных рядов 92

— — простая 519

— — функций на множестве, F(X;K)

35, 359, 360, 483

смежные 271

— центральная 489, 492, 494

высота вектора 240

— K[t]/(h) 464, 466, 468

— корневого вектора 237, 238

алгоритм Евклида 116

— параллепипеда 208

альтернирование 334

— нильпотентного оператора 240

аннулятор модуля 367

вычет числа по модулю 27

— подпространства 190

— квадратичный 200

антиавтоморфизм 490, 499

Геометрия аффинная 156, 157, 276,

антикоммутативность 15, 513

277

аргумент комплексного числа 24

— конформная 310

ассоциативность 12, 13, 149

— Лобачевского 310

ассоциатор 499

— проективная 304

Базис 34, 56, 58-60, 196, 222, 230

— псевдоевклидова 283

Базис абелевой группы 343, 344

— гипербола 290, 309

— жордановый 243

гиперболоид двуполостный 290-292,

— модуля 367, 368

309

— ортонормированный 204, 213

— — однополостный 290-292, 309

— пространства решений 68

гипергрань выпуклого

— симплектический 202

многогранника 270

— согласованный с

гиперплоскость в аффинном

подпространством 183, 184

пространстве 256, 265

— трансцендентности 388, 389

— — в проективном пространстве

бивектор 333

299

Вектор 32, 34

Гиперплоскость опорная 265, 267

— в аффинном пространстве 254

гиперповерхность второго порядка

— геометрический 32

285

— корневой 237

гомоморфизм алгебр 359

— собственный 220

— канонический 359

f-вектор выпуклого многогранника

— — групп 175, 176, 178, 181

270

— канонический 182

векторизация аффинного

Ли 511, 514

пространства 255

— — колец 357

векторы ортогональные 194, 212

— канонический 357

— линейно зависимые 52-54, 57, 58,

— — модулей 366

204, 336

— канонический 366

— — независимые 52-54, 57, 58, 73,

— — над полем 380

336

гомотетия 276

— ориентированные положительно

градуировка 187

74, 75

грань выпуклого многогранника 270,

вершина выпуклого многогранника

271

271

группа 8, 149

— квадрики 285, 286

— абелева (коммутативная) 12, 13,

— параболоида 296

149, 176, 342-355, 451, 472

вершины выпуклого многогранника

— — конечно порожденная 352

— нормирования 406

— без делителей нуля 16

— простой 374

— вычетов по модулю 25, 28, 29, 42,

идеалы эквивалентные 407

358, 361

изоморфизм алгебр 38

— главных идеалов 361, 362, 374

— аффинных пространств 275

— евклидово 114, 115, 117, 362, 368,

— векторных пространств 33, 58

401

— действий 423

— — коммутативное 14

— евклидовых пространств 209

— ассоциативное с единицей 42, 92,

— многообразий алгебраических 395

133

— модулей 366

— — многочленов

— представлений 446

113,114,116,358,402

— структур алгебраических 9

— от нескольких переменных 124,

инвариант действия группы 482, 483

373, 403

инволюция стандартная 490

— нётерово 372-375, 385, 386, 400,

индекс подгруппы 169

406

инерции положительный 199, 212

— нормальное (целозамкнутое) 386

инерции отрицательный 199, 212

— факторнальное 401, 402, 406

индукция трансфинитная 61

— функций на множестве 15, 17

Канонический вид квадратичной

— целостное (область целостности)

функции 229

113, 141, 400, 408

— — — — эрмитовой 235

— целых чисел 15, 16, 19, 113, 114,

карта аффинная 300

116, 141, 357, 386

квадрика 283, 285-291, 293, 295, 297,

— — — поля 387, 407, 408

305

коммутант 416

— коническая 286, 289, 290, 295

коммутативность 12, 13

— линейчатая 309, 310

кратный 418

— нецентральная 289, 290, 295

коммутатор 416

— овальная 309, 310

— матриц 512

— проективная 306

комплексификация 222, 236

— вещественная 308

композиция отображений 8

— комплексная 308

— линейных 70

— невырожденная 306-308, 310

компонента изотипная 454

— — центральная 285

— неприводимая 398

— — неконическая 289, 290, 293, 295

— однородная многочлена 123

— цилиндрическая 288

— связная 506

кватернион 489

коника 285, 309

— сопряженный 490

константы структурные 491

Класс отношения эквивалентности 26

конус 286, 292, 305

— смежный 167, 171

— грассманов 337

— сопряженных элементов 421

— квадратичный 290, 291, 305

клетка жорданова 241, 245, 371

координаты барицентрические 256,

— нильпотентная 241

262

кольцо 14, 176, 356, 365, 373

— вектора 34

— ассоциативное 15

— неоднородные 300

— однородные 300

— кососимметричная 186

— плюккеровы 338

— косоэрмитова 211

— тензора 321

— коэффициентов 43

— элемента тензорного произведения

— — расширенная 43

314

— линейного оператора 214-216

корень многочлена (алгебраического

— — отображения 64, 71

уравнения) 96, 97, 107, 136

— невырожденная 59, 72-74, 81, 88

— кратный 97, 101, 136

— — целочисленная 89, 154

Корень многочлена простой 97

— нижняя треугольная 47

— первообразный 163

— нильтреугольная 238, 359, 463

коэффициент линейного уравнения

— — обратимая 72

43

— обратная 73, 88

— линейной функции (формы) 188

— ортогональная 205

— многочлена 91, 101

— перехода 59

— — старший 91

— полуторалинейной функции 211

кривая второго порядка 285

— симметричная 186

критерий Сильвестра 200

— скалярная 41

Лемма Гаусса 120, 402

— строго треугольная 47, 49, 154

— Даламбера 105

— ступенчатая 45

— Нётр о нормализации 390

Матрица транспонированная 42, 70,

— о возрастании модуля 105

81

— о замене 389

— трапецеидальная 46

— о линейной зависимости 55, 57

— унитарная 213

— о неподвижной точке 458, 461

— элементарная 51

— Цорна 61

— эрмитова 211

— Шура 450

матрицы подобные 243

— линейная комбинация векторов 34,

метод аксиоматический 11

52, 60

— вращений 51

— барицентрическая 255

— Гаусса 44, 49-51

— выпуклая 263

— Якоби 199

— нетривиальная 52, 53

минор 83, 89

— тривиальная 52

— главный 221

— оболочка множества 55, 57

— дополнительный 83

— часть преобразования 179

— окаймляющий 89

Матрица 38, 45

— угловой 89, 196

— билинейной функции 192

многогранник выпуклый 268, 272,

— верхняя треугольная 47

282

— Грамма (скалярного умножения)

— правильный 282

204

— телесный 268

— диагональная 39, 154, 175

многогранники правильные

— единичная 40

двойственные 282

— жорданова 243, 245, 371

многообразие алгебраическое 283

— квадратичной функции 194

— аффинное 393, 395, 396, 398, 399,

— квадратная 39, 85, 186

404, 405

— грассманово 337

— правый 365

— дифференцируемое 502

— свободный 367, 368

— линейное 283

— циклический 367

многоугольник правильный 282

— — примарный 369

многочлен 90-94, 106, 107, 109, 110,

модуль комплексного числа 23, 103

112, 119-122

морфизм многообразий

— аннулирующий оператора 244

алгебраических 395

— — матрицы 244

— представлений 446

— деления круга 121

— — — неприводимых 450

— минимальный матрицы 244

Наибольший общий делитель 115,

— — оператора 244-246

401, 402

— — элемента 377

наименьшее общее кратное 118

— — на алгебраическом

направление особое параболоида 294

многообразии 393

начало отсчета 148, 255

— неполный 137

невычет квадратичный 200

— неприводимый 116, 383, 403, 404,

неизвестные системы линейных

436, 441

уравнений главные 47

— — от нескольких переменных 122-

— — — — свободные 47

124, 151

неравенство Коши — Буняковского

— — — однородный 123, 187

203, 204

— — — симметрический 127-129,

норма в векторном пространстве 248

151

— в евклидовом кольце 114

— — — — элементарный 127, 129,

— кватерниона 490

133

— линейного оператора 248

— нормированный (приведенный)

— октавы 499

99, 119

нормализатор подгруппы 425

— от матрицы (оператора) 244, 246

нормальный вид квадратичной

— примитивный 120, 402

функции 198, 199, 212

— сепарабельный 435

нормирование 406

— характеристический 221, 224, 225,

Область целостности 113, 141

228, 238, 239, 243, 246

оболочка аффинная 256

множество выпуклое 263, 264, 267,

— выпуклая 264

269

образ гомоморфизма групп 175

— замкнутое относительно операции

— линейного отображения 65

17

объем параллепипеда 208, 209

множители инвариантные 350, 354,

— ориентированный 75

370

оператор альтернирования 334

модуль 43, 364

— дифференцирования 218, 220, 225,

Модуль конечно порожденный 367,

237, 240, 251

369, 372

— кососимметрический 227, 230

— левый 364

— косоэрмитовый 235

— над кольцом Z 365

— линейный 214-216, 219-226, 245,

— — — многочленов 365

371

— периодический 367

— — обратимый (невырожденный)