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Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

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D =		12				2			= 12 1 ( 2) 7 = 26,
D =		12				2			= 12 1 ( 2) 7 = 26,
1			7			1
			7			1
D 2 =				3	12			= 3		7	12 5		= 39.
D 2 =				3	12			= 3		7	12 5		= 39.
				5		7
2 A :
x =	D1				=		26		= 2; x =			D2		=	39	= 3.
x =					=				= 2; x =					=		= 3.
1			D			13					2		D		13
			D			13							D		13

%. % A x1 = 2 x2 = 3 7 A.

3 2 2 ( 3) = 12,					A 5 23.
	2	+ ( 3)	=	7,
5

9 2. , 5 3 A

x1 + 2x2 = 6,3x1 + 6x2 = 4.

6 K. 0 2 A 2 23 A

D	=	1			2	= 6 6 = 0.
		3			6
D = 0 , 7 A					2 ' A, 2 ' 2.
A D1 D2			6		2
D =			6		2	= 36 8 = 28,
1			4		6
			4		6
D	=			1	6	= 4 18 = 14.
D	=			1	6	= 4 18 = 14.
2				3	4
				3	4

2 23 A D = 0, 2 2 D1 D2 2

27, cA A. @ 4 A 4 3, A 4 '

7 A 3. % 2 A 3x1 + 6x2 = 18,

A I A. 9 3. , 5 3 A

	x1 3x2 = 2,
2x		+ 6x	2	= 4.
	1

6 K. 0 2 A 2 2 D, D1, D2 .

				1 3		= 6
D =				1 3		= 6		6	= 0,
	2				6
D =		2			3		= 12 12 = 0,
D =		2			3		= 12 12 = 0,
1			4		6
			4		6
D =				1	2		= 4 ( 4) = 0.
D =				1	2		= 4 ( 4) = 0.
2				2	4
				2	4

2 2 2I, A 2 (A ' A 4 5). 0 D A 2 D 2 A

I, A A. & A 3, 7 27 7 2 A - 2 7 A 4 A 2

7 (-2). % D A 7 5 7 7 27 7 5 A A. % 7 x2 2I' 2 7, A

IH 7 27 x1 6 A 2 x1 = 2 + 3x2.. A ' A, A 4 5 A A 4 3 : x1 = 2 + 3t, x2 = t,

t .

9 4. 0 2 3 2 23 3 7

2 1 3

D = 4 3 2 . 6 2 1

6 K. " 23 A 2 2. A,

D2 A 2'= A I 'H A 4 23 2, A

2 27, 23 7 3. % 2 A

1 1 3

D = 2 2 3 2 . 3 2 1

" 23 7 8, '3 A 7 , ' D2 A,

A , ' 2 3 23. !27 D 2 A 2 IH

': 1) D2 A A 2'= ' A IH

D2 A 2'=; 2) D2 A A 3 2'= ' A D2 A

, A 4 (-3), 2 A

1 0 0

D = 2 1 4 . 3 5 8

A 7, 2 5 A 7 2 2 D2 A 3 2'=

A I 'H A 4 23 4, A 2 27.

D = 2 4	1	0	0
D = 2 4	2	1	1	.
	3	5	2

\, D 2 23 = 2 ' 2 4 3 D2 A A

, D2 A 2 27. % 2 A

1+1	1	1
D = 8 1 ( 1)	5	2	= 8( 7) = 56.

9 5. 0 2 3 2 23 7

	2	1	1	2
	2	1	1	2
D =	1	5	2	3	.
	3	2	5	4	.
	1	1	3	2

6 K. " 23 7 8, ' A 2 23 , '

D2 A 2'=, A , ' 2 3 2. D = 23I: 1) D2 A A ' A D2 A

; 2) D2 A A ' A D2 A ; 3)D2 A A 3 ' A D2 A , A 4(-3). % 2 A

	0	3	7	2
	0	3	7	2
D =	0	4	1	1	.
	0	5	4	2
	1	1	3	2

, 2 4 A D 2 23 D2 A A 2'=

D = 1( 1)4+1	3	7	2
	3	7	2
	4	1	1	.
	5	4	2

" 23 7 8, '3 A 7 , ' 2 A 2 2

D2 A 3 2'=, A , ' 2 3 23. D = 23I D2 A A ' A D2 A , D2 A A 3 ' A D2 A , A 4 (- 2). A 2 4 A 2 2 23 D2 A A 3 2'=:

D =	5	9	0	= ( 1)1( 1)2+3	5	9	= 3.

	4	1	1
	3	6	0		3	6

8 % ! #						1.1
			32

1.0 A 2I 7 = 23 2 A 4 A =

2 2 A?

2.4 D2 A, 2 4 ' 2 A = A

3.	7 A A Dik D2 A aik A = n - 7?
4.	# 27 7 2 ' 2 Aik D2 A aik A =
	n - 7?

5.0 A 2 2 ' 2 -2 ' D2 A A = A?

6.! 4 'H A , , 277 2 23 3 7

A 2 4 7 ( 2) “2 23”, A 2 A 4 23.

7.! 4, , 2 A = 4 (2'=),

2 23 A 2I.

8.! 4, , 'H A 2, A 2 4 7 ( 2)

2 23 7 A 4 ' 3 2

2 ' 7 AA 24 2 A. % A 2 D2 A A = 7 27 7 4 D 2 A?

9.% A 5 A (1.3) A 4 2 53

2? 'X7 D 6, 23 7 A I 22I = I.

1.2. 6 K ! %4 & #

% A 0 A A 3 7 2 IH A A:

•4 ! %4 & # 5# %. Q &!%

•n ! %4 & # n 5# %. .

•% ! %4 %4 & #.

•! # K % 4 ! %4 %4

& # 5# %.

% 2 7 A 2 0 A 2 3 27 A 5 3 .

2 0 ' 3 7 , ' 3 [1], 2 1, . 29-37 2 2 I – A 2 I A.

A - 6 A ' 7 5 3

23 ' Y 1 A A Y 1-5.

4 ! %4 & # 5# %. Q &!%

, A A A 2 A7 A:


a x + a x + a x = b ,
	11 1	12		2	13	3	1
a21x1 + a22x2 + a23x3							= b2,		(1.21)
a x		+ a x			+ a x		= b .
	31 1	32		2	33	3	3
= A - 7 A = A 3 7
	A =		a11		a12	a13
			a11		a12	a13
			a21		a22	a23		.	(1.22)
			a31		a32	a33

A 3 5 D A. !27 2I 7 x2 x3 A 4 A ' , 3 A (1.21)

2 ' 2 7 A11, A21 A31 D2 A a11,a21 a31 A = (1.22), A 2 4 A 2 2

2 5 7 . 0 23 ' A A 3

(a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 )x1 + (a12 A11 + a22 A21 + a32 A31 )x2 +
+(a13 A11 + a23 A21 + a33 A31 )x3 + = b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 .	(1.23)

0 (1.23) D66 = A x1 AA

D2 A 2'= A = (1.22) 2 ' 2 7,

A 2 4 7 ( 2 2 2)

2 2I D A = A A , . . 2 2I A:

D =	a11	a12	a13
D =	a21	a22	a23	.	(1.24)
	a31	a32	a33
# D66 =		x2	x3		2I 6

2 2, AA D2 A

3 2'= 2 ' 2 7 D2 A 2'=.

' 2, 7H (1.23), AA

' 2 A b1,b2 b3 2 '

2 7 D2 A 2'= A = A . 2 23, A

A H 7 7 3 (1.23) 2 2 A A =, 2 A A = A A 2'=, 7H

D66 = A x1 , 2'= A ' 2 A. ' D 2 23 D1

b1 a12 a13 D1 = b2 a22 a23 ,

b3 a32 a33

5 A (1.23)

Dx1 = D1.

-2 2 A H 7, 4 H 23 x2 23 x3 ,

7 A 4 2 27 A (1.21)

2 ' 2 7 3 2'= A = A

(1.22). 0 23 ' A A 3 A

Dx1		= D1,
		= D2,	(1.25)
Dx2
Dx		= D ,
	3	3

D2 D3 - 2 2 A =, 2 2 2 2I D1

, A 3 2'= 2'= A '

D2 =		a11	b1	a13
D2 =		a21	b2	a23	,	(1.26)
		a31	b3	a33
D3 =		a11	a12	b1
		a11	a12	b1
	a21		a22	b2	.	(1.27)
		a31	a32	b3

" 2 A A (1.21), 23 7 2 I A (1.25),

2 2 A 5 2 I A 2

A7 A. , A A A 4 2 7: 2 '

2 23 D A 2 27, 2 ' 2I.

1. D 0

0 D A 2 A (1.25) A 5

x =	D1		x		=	D2			x =		D3

1	D	,		2			D	,	3		D .	(1.28)
4 2		A								2		A7

A, A 4 3, D 0 A (1.25) (1.21) D 2. + A 2 (1.28) I 5 A (1.21) D 5

(A (1.21) 2). @ 23 7 27 7 A

2 A A # A, 6 A 2 (1.28) I 7 6 A 2 A # A

A 23 A 2 A7 A.

2. D = 0.

2 2 23 A (1.21) 2I, A

2 2 D1, D2, D3 A 2 ' A, 2 ' 2, A:

1)2 7 ' 2 2 D1, D2, D3 2 27, A

(1.21) A, IH A (1.25),

D 2 23, A 4 ' 3 2 A

A .

2)2 2 2 D1, D2, D3 2I, ,

5 2 ', A (1.21) 2 ' A A D A ' 2 A 4 5 (A 2), 2 '

A. 0 2 2 A, D 2 2 '

A, 2 ' A .

! %4 & # 5# %.

" 23 A A, A

2 A7 A

2 n A:

	a11x1	+ a12x2 + + a1n xn
	a11x1	+ a12x2 + + a1n xn
a21x1 + a22x2 + + a2n xn
		.............
		.............
a x		+ a x	+ + a x
	n1 1	n2 2	nn n

= A – 7 A = 7

2 A

'H A 2 I A n

=b1,

=b2,

(1.29)

= bn. n :

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
...	...	...	... .	(1.30)

an1 an2 ... ann

% 23 7 3 A A 2I 7 , ' A A (1.29)

I A , 4 4 23

	x1, x2 ,..., xn. !27 2 7 7, 4 H 23
	xk (k = 1, 2,..., n), 2 ' , ,..., n -

7 A (1.29) A 4 3 2 '

2 7 A1k , A2k ,..., Ank D2 A k - 2'= A = (1.30) 2 4 3

2 2 2 . 0 23 2 A

Dx1		= D1,
		= D2	,
Dx2
			(1.31)
.........
Dx		= D ,
	n	n

D - 2 23 A (1.29)

	a11	a12	...	a1n
D =	a21	a22	...	a2n	,	(1.32)
	...	...	...	...	,	(1.32)
	an1	an2	...	ann
a D1, D2,...., Dn - 2 2 A =,			2 IH 7 A = A

(1.30) A , ,…, n - 2'= 2'= A

' 2 A (1.29), . .

	b1	a12 ...	a1n				a11	b1 ...		a1n
D =	b2	a22 ...	a2n		D	=	a21	b2 ... a2n
1	... ... ...		...	,	2		...	... ...		...	,…
	bn	an2 ...	ann				an1	bn ...		ann
			a11		a12 ...	a1n 1		b1
			a11		a12 ...	a1n 1		b1
		D =	a21		a22 ... a2n 1			b2
		…, n	...		... ...	...		...	.	(1.33)
			an1		an2 ...	ann 1		bn

! 2, 2 7 A (1.29) 2 I A (1.31) 2

A, D 2 2 3 5, 27I 2 7: 1. D 0.

0 D A 2 A (1.31) A 5

6 A 2 A # A:

x	=	D1	,	x	=	D2	,..., x	=	Dn	,	(1.34)

1		D		2		D	n		D

7 27IH 7 A 5 A D 2 A

(1.29).

@ 23 27 ' A # A, 6 A 2 (1.34) - 6 A 2 # A 27 A n 2 n A.

. 2 2 23 A n 2

n A 2 27, A A A

5. 0 D A 5 4 xk (k = 1, 2,..., n) ',

A 2 A 7 27 7 2 23 A, 2 2 A -

2 23 A =, 2 IH 7 A = A A k -

2'= 2'= A ' 2. 2. D = 0.

0 D A 2 A 4 .

1)2 7 ' 2 2 D1, D2,..., Dn 2 27,

A (1.29) A, IH

A (1.31), D

2 23, A 4 ' 3 2 A A

2)2 2 2 D1, D2,..., Dn 2I, A

(1.29), 7 2 5 2 ', 2 '

A, A ' A 4 5 (A

2), 2 ' A. 0 2 A 7

A D 2 A A 35 2 .

% ! %4 %4 & #

& 7 %, 2 ' 2 D A 2I.

A 7 27I 7 4 A A 2 A

A 2 .

A n 2 n A A

a	x + a		x	+ ... + a	x	= 0,
11 1		12	2	1n	n
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0,
		................				(1.35)
		................				(1.35)
a	x	+ a	x	+ ... + a	x	= 0.
n1 1		n2	2	nn n
7 A A, 2I' D66 = aik
A 5:		x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0. @ 5 7

&! #% (# ! %) K. 2 2, 27IH

5 A (1.35), A 7 7 ' , 2 27,

5 7 &! #%. 0 4 7 3, A 2 A

2 (1.35) 7 27 7 2, -

' 4 - A 2 5 7.

" 23 7 2 4 7 'H A 2 ,

A H A 2, 27 A 2 7, A

2 27 A D . 1. D 0.

2 2 23 A 2 2I, , 2

A # A, A A 5, A, , 7 27 7

2 5.

2. D = 0.

2 2 23 A 2

2I, 7 A, A 2 5 7, A H ' A 4 , 2 5. 0 D A 2 7 A

D 2 A A 35 2 , 7 A 4 ' 3

2 5 A H3I 7 7 A =.

6 A 2 A 2 4 7 = 4 7 2

5 A n 2 n A.

1.1. (A '4 % % & ! # !

&! #%4 K %).

!27 ' A n 2 n

A A 2 2 5 7, ' A , '

2 23 A ' 2 2I. % D A A D 2

A A 35 2 A ' A 4 5.

, !. 6 7 # % n -7 7

2 r , A r - 7 A = A 7,

A, , 2 27, A (r + 1) - 7

2I.

" 2 7 2, 5 7 2 27 A A = D A =.

1.2. A n 2 n

A D 2 A r , r - A =

! # K % 4 ! %4 %4

& # 5# %

" 23 7 2 4 7, A 2 5

A 2 A7 A:

a11x1 + a12x2a21x1 + a22 x2a31x1 + a32x2

2 23 D A

+a13x3

+a23x3

+a33x3

=0,

=0.

a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 .

a31 a32 a33

(1.36)

(1.37)

0 A 4 2 7: 1. D 0.

A A 23 5 - 2: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.

2. D = 0.

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