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Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

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A 7 A 7 !, 2 A 23

5 !, 2 5 ' 235 A .

# ' 2, 2 7 A A ' A 4 5.

A, A

2x1 x2 = 1,

x1 + x2 = 5

2, A 5 x1 = 2, x2 = 3. , A A

5x1 x2 = 2,10x1 2x2 = 4,

D66 = ' 2

= 23. A A A A 2 A7

A, IH ' A 4 5. 3

7 A 2, A ' A 4 5

x1 = t; x2 = 5t 2,

t - 2I' 2.

! A I 7 M # # ! % (23 A), 2 4 5 A 7 27 7 5 A , '.

9 ! %4 & # 2I 7 '

A, 27IH 2 3, A 2 7 A

2 , 2 A 3 2 5, 4 3

' 4 7 D 5.

% A 2 2 A = 2 A

27 ' 3 A 2 7 D A '

5 7. 'H 2 A (1.1) ' A , 2

2 A A 2 A A A, 2

2 , 7 5 2 n = 2 n = 3.

#&4 ! %4 & # #&

5# %. , ! ! # 7

" 2 2 A A 7 5

2 7 A 2 A7 A. 5 A D

A 'H ' 7:

a11x1 + a12x2 = b1,
a	x + a	22	x	2	= b .	(1.3)
	21 1	22		2	2

A 5 3 D A A A D2 A 2 ' A A

2I 7 , ' 2 3 I A, D 2 I

, 4 4 23 . !27

2I 7 x2 A 4 A ' 7 a22 ,

- - a12 2 4 A 2 2 . !27 2I 7

x1 3A A A 4 2 2: - a21 - 27 7 a11 -

27 .

0 23 2 A

(a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2 ,
	(a a	22	a	a	21	)x	= a b	b a	.	(1.4)
	11	22	12		21	2	11 2	1	21

0 7 A (1.4) D66 = A 7 27 7

4 2

a11a22 a12a21,

(1.5)

2 A 2 A 2 D2 A A = A A :

A =		a11	a12		.	(1.6)
		a21	a22

=, A IH 7 2'=, 7 #

# 7 (A = 7). 2, 27IH

A =, I 7 M! %.

! 2 7 A = ' A '. A = A I 7 , 2'= - 2 . # 4 D2 A A =

aik A : i A , - k - A 2'=, 7 D2 A.

A = 2I' 7 3 D2 A a11, a22,..., ann ,

2 4 2, H 2 2 A =

4, 7 7! # 7 ! :, 3 D2 A,

2 4 2, 7	'	7 ! :
A =.
0 4 5 2 A = 7 27 7
2 23 - 2, 2 A 2 A 2 D2 A A
A =. (" 7 7 2 2 2 4 IH A 7
A = A A A / 6 & ' = 1646-1716).
, !. , ! ! %	# 7	(1.6)

(2 2 A 7) 7 2,

D2 A 2 ' 2, ' A A 2 A

				a11	a12		.
A ' A, 2 I,				a21	a22
A ' A, 2 I,
	a11	a12	= a a		22	a a		.	(1.7)
	a11	a12	= a a			a a		.	(1.7)
	a21	a22		11		12		21
	a21	a22

% A H = 23 2 A 4 A =

2 2 A. = - '! 2; 2 23 A = -

!, 2 A 2 A 2 D2 A A =.

2 23, 2 A =, ' 7 A, A

23 A A. 2 23 (1.7) A = A (1.6)

7 ! ! % (1.3). A ' A, D66 = A

x1 x2 A (1.4) 7 27 7 2 23 A

(1.3). ' 2, 7H 7 A (1.4),

4 7 27I 7 2 27A 7. ' 2 A

7 27 7 2 2 A A =

a12

(1.8)

a22

2 IH 7 A = A (1.6) A 2'= 2'= A

' 2 b1 b2 '

2 A

2 23 A =

a11

(1.9)

2 IH 7 4 A = A (1.6) A 2'= 2'= A

' 2 .

2 ' 7

a11

a12

=D,

a12

= D ,

a11

= D ,

(1.10)

a21

a22

a21

A (1.4) 5 7

Dx1 = D1,

= D ,

(1.11)

" 2 A A (1.11). 0 A 4 2 7: 2 ' 2 23 D

A 2 27, 2 ' 2I. I. D 0.

2 2 23 D A (1.3) 2 27, A (1.11)

A 23 5:					D2
x =	D1	;	x	=		.	(1.12)

1	D		2		D

% 2 23 7 27 7 A 2 A A # A

A 23 A 2 A7 A. 'H 2 A # A 2 (/ ' D23 # A (1704-1752) - 5 = A A).

. 2 2 23 A 2

A7 A 2 27, A A

A 5. 0 D A 5 4

', A 23 2 2I A, 2 23 -

2 2I A =, 2 IH 7 A = A A 2'=

D66 = 27 A A A 2'= A ' 2

+ A 2 (1.12) I 7 &! 27 A

2 A7 A. II. D = 0 .

2 2 23 A (1.3) 2I, A 2 '

A ( A 5), 2 ' 2 (A ' A 4 5). @ 2 2 D1 D2 . % D A

A 4 :

1)2 7 ' 2 2 D1 2 D2 2 27,

A (1.11) A 4, 3 A (1.11)

A, 2 23, A (1.3) A.

2)2 ' 2 27 D1 D2 . 2I, A (1.11), 2 23, A (1.3) 2 D 2 A

, 2 23, A ' A 4 5.

, ! ! 7

0 H A 2 A ' 2 3 A 4 23 7

2 2 7 27 2 7 5 7 A

2 A7 A. ' 3 D A

A 2 A7 A, A ' 'H 3 27 23 n , A '7 7 2 2 ' 2 7. % 2 D 2 2 27 4 7 23 A

', A 2 23 7 n A 4 ' 3 4

2 2 ' 2 7. D = 23I A A 2

I A = 3 7

A =	a11	a12	a13
A =	a21	a22	a23	.	(1.13)
	a31	a32	a33

2 A = 3 7 3 2I' I 2I'

2' =, 5 7 D2 A ' I I A =

7. , A ' A A = 3 7 A 4 2 3 7 3 2 A = 7.

, !. M! aik % 7

7 2 23 A = 7, 2 IH 7

A = A i - k - o 2'=,

7 D D2 A.

D2 A aik ' 7 A 2 A Dik . A = 3

7 7 3 2 A. A, A A D2 A a12 A = (1.13) 7 27 7 2 23

						D12				=		a21			a23					.
						D12				=		a31			a33					.
, !.		!7 '												!														Aik		M! aik
% 7		7 2, I A
D D2 A ( 1)i+k .
,
		Aik = ( 1)i+k Dik .																															(1.14)
" 6 A 2 (1.14) 2, 2 ' 2 A, 2
AA i + k - 7,							A 2 4 ,																										2 AA
7.
". 0 2 3 2 ' 2 7 D2 A A =
3 7
									2			1		0
									2			1		0
										1		3		1				.
								2			0			1
6 K. % 6 A 2 (1.14) 2 A
A		1+1	3 1								= 3;						A					1+2						1 1				= 1;
		1+1	3 1																			1+2						1 1
	= ( 1)																					= ( 1)
11				0						1				12														2	1
				0						1																		2	1
			A						= ( 1)1+3								1 3						= 6;
			A						= ( 1)1+3								1 3						= 6;
				13											2							0
															2							0
A		= ( 1)2+1				1 0					= 1;					A					= ( 1)2+2				2 0					= 2;
A		= ( 1)2+1				1 0					= 1;					A					= ( 1)2+2				2 0					= 2;
21							0			1				22												2			1
							0			1																2			1
				A					= ( 1)2+3								2 1							= 2;
				A					= ( 1)2+3								2 1							= 2;
				23													2					0
																	2					0
A	= ( 1)3+1				1					0		= 1;					A					= ( 1)3+2					2		0		= 2;
A	= ( 1)3+1				1					0		= 1;					A					= ( 1)3+2					2		0		= 2;
31					3					1				32													1		1
					3					1																	1		1
		A			= ( 1)3+3								2 1						= 5.
		A			= ( 1)3+3								2 1						= 5.
		33											1				3
													1				3
, !.		, ! !															%										7

(2 2 A 3 7) 7 2, AA

D2 A A = 2 '

2 7 ' A A 2 A

a11 a12 a13 a21 a22 a23 . a31 a32 a33

A ' A, 2 I

a11	a12	a13	= a11A11 + a12 A12 + a13 A13.
a21	a22	a23	= a11A11 + a12 A12 + a13 A13.	(1.15)
a31	a32	a33

2 (1.15) 3 4 7 2 ' 2

D2 A A = (1.14) 2 3 4

' 7, 2 A 6 A 2, I A I 5

2 ' 2 7 2 27 3 7:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21.a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23.a32. a31 a32 a33

(1.16)

0 D 6 A 2 5 3 2 A, 4 7 27 7 A

D2 A A =: A 4 4 2'=. 2 A A “+” - A "-". ' 2 A 3 6 A 2 (1.16), 23 I " # ! &7 !": A "+" ' 7

7 D2 A 2 2 D2 A, 2 4

5 23 7A, 22 23 A D 2,

A "-" ' 7 7 D2 A ' 2

D2 A, 2 4 5 23 7A,

22 23 A D 2. % 2 23 2 A:

+	–

". 0 2 3 2 23
					2	1	1
					2	1	1
					1	2	3		.
					1	1	1
6 K. 0 2 A 2 23 A7 ' A: ) %
2 I,
6 A 2 (1.15)
	2		1	1
	2		1	1
	1		2 3		= 2 A11 + ( 1) A12 + 1A 13=
	1		1	1
1+1		2 3				1+2		1 3		1+3	1 2
1+1		2 3				1+2		1 3		1+3	1 2
= 2( 1)		1	1	+ ( 1)( 1)				1 1		+ 1( 1)	1 1	=

= 2 1 + 1 2 + 1( 1) = 3.

') % 2 23

2 1 1

1 2 3 = 2 2( 1) + ( 1)( 3)1 + 1 1 1 1 2 1 ( 1)1( 1) 2( 3) 1 =

1 1 1

=4 + 3 +1 2 1+ 6 = 3 .

,! ! #% K 4 #

-2 A, 2 23 3 7 ' 2 2

A H3I 2 2 7, 2 2 5 7

( , 7 . .) ' A 27 3, 7,

2 2 5 IH 7.

2 7 D A, 'H A 2, 2 7 A 7

2 27 (n 1) -		7,	A 7 A		Dik
2 ' 2 7 Aik D2 A aik A = n - 7
	a11	a12 ...	a1n
	a11	a12 ...	a1n
A =	a21	a22 ...	a2n	.	(1.17)
A =	...	... ...	...	.	(1.17)
	an1	an2 ...	ann
			26

, !. Dik M! aik % n -7

7 2 23 A = (n 1) - 7, 2 IH 7

A = A i - k - o 2'=,

7 D D2 A.

, !. !7 ' ! Aik M! aik

% n -7 7 2, I A Dik

D D2 A ( 1)i+k , 3

	Aik = ( 1)i+k Dik .	(1.18)
, !.	, ! ! % n -7	7
2, AA	D2 A A =

2 ' 2 7 ' A A 2 A

				a11		a12	...	a1n
				a21		a22	...	a2n	.
					... ... ... ...
				an1 an2 ... ann
A ' A, 2 I
	a11	a12 ...			a1n

	a21	a22 ... a2n				= a11A11 + a12 A12 + + a1n A1n.					(1.19)
	...	... ...			...
	an1	an2 ... ann								n -
0		6 A 2			(1.19)		2 23 A =				7
27 7		n	2 2				(n 1) - 7, 4
27 7 n			— 1 2 23 4 (n 2) - 7 . . ! 7
D 2 4 2 2 2- 7 277 , 2 A,
2 23 n-		7 27 ' 2 ' I AA
n(n 1) 2 1 = n!		2 A.			# 4 2 A, 7					2 A

A, 7 27 7 A n D2 A A = A D2 A 4 4 2'=. "A I A 2 4

(1.16) 27 2 27 3 7. ' D 2

A 7 5 2 ' 2 2 27 n -

, # % # # ! !

, A A 2 2, 2 27 2 2 2I'

7. @ 5 23 I 7 2 2 2 5

7 = 23I H 7 .

% 4 A 6 A 2 3 2 2, A

, !. # % 7 = 7,

7H 7 2 A =

A =

4 A 2'= A 4 A A, 3

= 7 A =

a11

a12

...

a1n

A =

a21

a22

...

a2n

...

... ... ...

an1

an2

...

ann

A =

a11

a21

...

an1

AT =

a12

a22

...

an2

(1.20)

...

a1n

a2n

...

ann

A , ' 7

=, 2 7 A

A =

A 2 A A . , ( A )T = A.

, A A 3 # # ! !, 7 23

(A. [1]).

# # 1. 2 23 A =

2 2I A =, 3

D( A ) = D( A).

" 1 2, 7 2 27, 2

23 A =, 2 5 2'=.

# # 2. ( 5! *). 2 23 A =

AA D2 A 2I' (2'=) 2 '

2 7.

! # ( 5 L). AA 2 '

2 D2 A -2 ' (2'=) A = 23

2 2 2I A =, 2 IH 7 A

A A (2'=) (2' =) D 2. # # 3. 2 D2 A -2 ' (2'=) A =

A 4 3 4 2, 2 23 A = '

I D 2 2 27 A =.

! #. 2 D2 A -2 ' (2'=) A =

2I, 2 23 A = 2I.

# # 4. 2 A = 3 2I' (

2'=), 2 23 A = ' 2 2I

A = 2 4 A A.

! #. 2 A = A (2'=),

2 23 2I.

# # 5. 2 A = (2'=) A I

= 23 D2 A, 2 23 2I.

# # 6. AA D2 A -2 '

(2'=) A = 2 ' 2 7 IH D2 A

(2'=) 2I.

# # 7. 2 23 A =, D2 A -2 '

(2'=) 27I ' AA 2 A, AA

2 2 A =, 2 A A = A

A A (2'=) (2'=), 7H

2 A.

# # 8. 2 23 A = A 7, 2 D2 A A

-2 ' (2'=) A = ' 3 IH D2 A

(2'=), A 4 4 23 2. , A 23 I 7 2 2 2

5 7. 0 A 2 7 2 4 A 2 4 7

( 2), 27IH 7 4 2 23 AA

D2 A 2I' 2 2'= 2 '

2 7.

0 23 2 2 27 n - 7 7

2 I n 2 2 (n 1) - 7. , 'X A 2

H 7, 2 D2 A 2 2'= 2I. " 23 7 8, A 4 ' 3 7 , ' D2 A, A

, ' 2 2'= ' 2 3 2. 2

2 27 n - 7 A 4 2 I 23

2 27 (n 1) - 7.

6 K 5

9 1. , 5 3 A

3x1 2x2 = 12,5x1 + x2 = 7.

6 K. 0 2 A 2 23 A

D = 53 21 = 3 1 ( 2) 5 = 13.

D 0, A A 5 (A

2). @ 5 A 6 A 2 A # A. 0 2 A

2 2 D1 D2 :

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