attachments_22-12-2011_21-07-09 / razdel 4
.pdf, .
,
.
.
. X Y , ! x y
" . #
x X y Y ,
, X f $
|
|
|
|
|
y = f ( x), x X . |
|
|
|
|
% X ( ) |
|||||||
f ( x) |
& |
D( f ) ; x . % |
||||||
f ( X ) |
( y Y , ! x X , |
|||||||
! . |
|
|
||||||
|
# |
f ( X ) -( ! |
C ( . . |
|||||
|
x X |
|
C ), |
|
||||
(, ! $ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y = f ( x) = C = const . |
|
|
|
|
" |
y = f (x) |
( ( |
|
||||
|
Oxy |
|
Oxy |
|||||
( x, f ( x)) , x X . |
|
|
|
|
|
|||
|
# : |
|
|
|
||||
|
1. 1 ( &: ( |
|||||||
|
(. |
! |
|
|
||||
F (x, y) = 0, |
, y(x) |
. |
|
|
# & &
, , (
, " .
2.5 ( &: .
3.7 & ( &: & (, (
( " ( .
%.
1. 8 ( & |
y = |
|
2 |
|
. |
||
|
|
|
|
||||
x2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
& '. & ,
. 7 &, &
: x2 4 > 0 . : x ( ; 2) (2;+ ) .
117
: D( f ) = {( ; 2) (2;+ )} .
2. 8 ( & y = 3x + log2 (x + 1) .
& '. "
, . >, & x + 1 > 0, x ( 1;+ ) .
: D( f ) = ( 1;+ ) . |
|
|
( |
|
|
1. ? |
|
|
. @ |
y = f (x) & X |
|
!), & x X |
|
f ( x) = f (x) . |
@ y = f (x) & X |
!), |
& x X f ( x) = f (x) .
@, , ,
* + . A , :
1.:& B ( B ( (
.
2.5 B ( .
3.5 B (
.
%.
1. |
@ f (x) = x4 2x2 (, . . |
( x)4 = x4 ,( x)2 = x2 , |
|||||||
f ( x) = f (x) . |
|
|
|
|
|
||||
2. |
@ f (x) = |
x3 2x |
(. C (, |
||||||
x2 |
|||||||||
|
|
|
|
= x3 + 2x |
|
|
|
||
|
f ( x) = |
( x)3 2( x) |
= |
x3 2x |
= f (x). |
||||
|
|
x2 |
|||||||
|
|
|
( x)2 |
|
x2 |
|
|
||
3. |
@ f (x) = 5x + 3 |
( &" , |
x x , , & (
, , .
2. |
|
|
|
|
|
|
|||
. @ y = f (x) |
& |
X |
|||||||
!, " T > 0 , : |
|
|
|
||||||
1) |
x X , x T X x + T X ; |
|
|
|
|
||||
2) |
& x X f (x) = f (x + T ) ; |
|
|||||||
3) |
|
|
|
T |
|
$ . |
E $ |
T |
|
y = f (x) . |
|
|
|
|
|||||
%. |
f (x) = 3sin 2x + 1 T = , |
||||||||
@ |
|||||||||
|
, |
|
|
y = sin x |
|
|
2 , |
sin 2x .
118
3. : |
& X |
||||
. @ y = f (x) |
|||||
+ ! |
|
X0 , ( X0 X ), |
" |
||
M , |
& |
x X0 |
f (x) M . @ |
||
y = f (x) |
+ ! |
X0 , " |
|||
m , & x X0 f (x) m . |
|||||
@ y = f (x) + ! |
X0 , |
||||
" L > 0 , |
& x X0 |
|
|||
| f (x) | L . |
|
|
|
|
:, ,
.
: , (
.
%.
@ |
f (x) = |
|
1 |
|
( ( (. 7 |
|||
|
x2 + 1 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
x2 0, 0 |
|
|
1, |
|
! . |
|||
x2 |
+ 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4. % |
||||||||
. |
@ y = f (x) * |
X , & x1, x2 X x1 < x 2 ,
f (x1 ) < f (x 2 ) , &$ &$
.
|
@ |
y = f (x) |
* |
X , & |
|||
x1 |
, x2 X |
x1 < x2 , |
f (x1 ) > f (x2 ) , |
&$ |
|||
$ . |
|||||||
|
# y = f (x) X & X , |
||||||
+ X . |
|
|
|
X , |
|||
|
@ * |
||||||
x1 |
< x2 , |
f (x1 ) f (x2 ) , & x1, x2 X , |
|
* |
|||
|
X , |
x1 < x2 , |
f (x1 ) f (x2 ) , & |
||||
x1 |
, x2 X . |
|
|
|
" X |
||
|
H ", & ", & " |
||||||
, X . |
|
|
|||||
|
%. |
y = x3 ( ( (. C (, |
|||||
|
@ |
x1 < x2 , x13 < x23 .
119
|
, , , . |
|
||||||||||||
|
|
y = f ( x) , ( X - , |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
Y0 = f ( X ) |
- (. ! & |
|||||||||||||
X |
( |
. 4.1 |
( " ( ). 7 |
|||||||||||
|
y Y0 & - x X , . . |
|||||||||||||
|
|
Y0 |
( |
|
y |
|
|
|||||||
|
x = ( y) . |
E |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y = f ( x) , |
|
Y0 |
y |
|
|
||||||
( $ |
|
|
||||||||||||
( & (. C & ( Y0 |
- |
|
|
|
|
|||||||||
& , |
X |
- |
|
|
|
x |
||||||||
(. # |
|
|
O |
x |
|
|||||||||
|
, |
|
|
x = ( y) |
|
|
X |
|
||||||
|
|
|
$ |
|
|
I. 4.1 |
|
|||||||
$ y = f ( x) |
x . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
H & & ( , & |
|||||||||||||
($ & y = ( x) . A $ |
||||||||||||||
, ( & ( ( |
y = f ( x) y = ( x) |
|||||||||||||
& . |
|
|||||||||||||
|
# |
y = f ( x) & |
X , |
|||||||||||
|
y Y0 , & |
|||||||||||||
|
x X . H ! " & ( |
|||||||||||||
y = f ( x) . |
8 |
|
& |
|
|
X0 |
||||||||
X , |
|
y = f ( x) |
&. I |
|||||||||||
y = f ( x) , |
x X0 , x = ( y) , & (. |
|
||||||||||||
|
%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
@ |
y = x3 , |
( |
( |
( ( . . X = ), |
|||||||||
( Y0 |
= . >, |
! |
& |
|||||||||||
y = 3 x , |
X = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = f (u), u U , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u = ( x), x X . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
y = f (u) U ,
– u = ( x) X . :& ! ,
, ,
. |
|
|
|
|
|
|
|
X * ( |
||||||||
% |
|
|||||||||||||||
( |
x X , |
|
|
" |
u = ( x) |
|||||||||||
U f (u) . |
|
|
||||||||||||||
|
|
u |
|
|
! + |
( |
||||||||||
, x , |
|
" ( |
|
|
|
X * , |
||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (u) = lg u, |
|
|
|
I |
: |
|
|
|||||||||||||
|
U = (0, + ) , |
|
u = ( x) = 1 x2 , |
|
||||||||||||
X = |
|
. ! |
|
( |
X |
) |
= |
( |
,1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
] . |
|
|
|
||||||||
% |
( X ) |
|
U &" ! ( |
), |
|
|
X * ( x , |
u = 1 x2 > 0 . |
|
I$ |
& 1 < x < 1. |
A, |
|
|
|
|
y = lg (1 x2 ), x X * = ( 1,1) |
|
-
: ! , ,
, & .
L , & ( : ,
, ,
.
. + ! ,
& ( (
.
M " & (:
1) (& ( );
y= a0 xn + a1xn 1 + ... + an 1x + an ,
ak - " , n -
;
2)& –
(;
3); &
, ( (
( . (:
121
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
y = |
3x |
2 |
+ 2, |
y = |
. |
||||
|
5x + 3 |
||||||||
N & , |
" & (, |
(. ($
:
1)y = xa , a - x > 0 ;
2)y = ax (a > 0, a 1) ;
3)y = loga x(a > 0, a 1);
4) |
y = sin x , y = cos x , y = tgx ; |
5) |
& y = arcsin x , y = arccos x |
.
L ! ( &
($ , , "
" ( ( ( , ,
) ,
. 8, !
|
( |
|
|
) |
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
y = lg |
|
x + |
1 + x2 |
|
, |
y = arctg |
2x4 |
, y = tg |
|
|
|
. |
|
|
|
x |
x |
% & ! ( ,
& ( (,
( (, " (
. 7, ,
x + 2, x 0, |
|
|
|
y = |
|
|
|
x2 , x > 0 |
|
|
|
! ( . |
|
|
|
& ' ! |
|
|
|
% 1. 8 ( & y = |
3 |
. |
|
|
2 x |
||
& ': H |
|
|
|
, . . |
x 2 , ! , & (
" x x = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
% 2. 8 ( & y = |
|
+ |
|
|
. |
|
|||
x 2 |
5 x |
|
|||||||
& ': |
L |
|
|
|
& |
||||
, |
. . |
|
|
x 2 0 5 x 0 , ! , & x 2 x 5 . H ! , x [2;5].
122
% 3. , & y = x3 + sin x (
(.
& ': x x
! . A , y = sin x -
, !
y( x) = ( x)3 + sin( x) = x3 sin x = (x3 + sin x) = y(x),
! , .
% 4. , & y = x2 + cos 2x (
(.
& ': x x
! . A , y = cos x
, !
y( x) = ( x)2 + cos 2( x) = x2 + cos 2x = y(x) ,
! , . |
|
|||
% 5. , & y = |
3x |
( (. |
||
x + 5 |
||||
|
|
|
||
& ': @ |
y |
x = 5 . >, |
||
y( x) |
x = 5 . : x = 5 . ! |
& (, (, . . –
&" .
% 6. , & y = x2 + 3x + 7 (
(.
& ': x x : y( x) = ( x)2 + 3( x) + 7 = x2 3x + 7 .
7. . y( x) = y( x) y( x) = y ( x) .
7 &, (, (, . . ! &" .
% 7. , y = 3x2 + 7 (
( (, .
& ': 3x2 + 7 7 , ! . 7 x2
&$ ,
.
% 8. , y = 3x3 + 2x2 |
|
||||
[0;+ ) . |
|
|
|
|
|
& ': 0 x1 < x2 . 7 x13 < x23 |
x12 < x22 . >, |
||||
y(x ) = 3x2 |
+ 2x2 |
< 3x3 + 2x2 = y(x ), |
|||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
. . .
123
% 9. , y = x2 3x &
( ;0] .
& ': x1 < x2 0 . C x x1 < x2
, & ( ! &
x12 > x22 . Q & x1 < x2 ,
3x1 > 3x2 . M , &
x12 3x1 > x22 3x2 , ! , y(x) &
.
8 4.1
1.C ( & .
2.C ( .
3.C ( B ( , B (
, &" . Q, (
& .
4.C ( ( . .
5.M ( , (
. .
6.M (, .
7.C ( & ( . Q B ".
8.L & H ? Q & (.
9.H, !.
10.C ( & ( .
11.C ( ( .
4.2.% . % .
( H "
:
•% .
•.
•; ' .
•: ! ! ' .
H
.
# H & , & [3],
2, . 26-42 – .
124
%
(
, . %
($ –
.
. @, ,
! . |
f (n),(n = 1, 2,...) . |
|
A, |
> |
|
& B |
|
& |
& : f (1) = x1, f (2) = x2 , f (3) = x3,L, f (n) = xn ,L.
$( x1, x2 ,L, xn ,L
! ( & {xn}.
! |
|
xn |
, |
|||||
xn = f (n) |
- * ! {xn} . |
|||||||
? " |
|
(, " ( |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
n |
||
&" ( xn . 8, {xn} = |
|
, |
{xn} = ncos |
|
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
2 |
|||
. {xn} + !, |
||||||||
" |
M > 0, , n |
xn M .
1, {xn} + !
( ), M , + ! ( ), $
m .
:, ,
. # ( ,
& (. :,
( ) & ":
. {xn} + !,
& M > 0, |
( |
n0 , |
|
||||||||||||
|
|
xn |
|
> M . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%. |
{x } = {1} |
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
, |
|
|
|
n |
||||||||||
n |
n |
|
|||||||||||||
|
|
xn |
|
1. |
{xn} = {n 5} , |
xn 4 |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
2. |
n .
3.{xn} = { 1 n} ; xn 1.
125
4. {n 5} { 1 n} .
. {xn} *,
& |
n $ xn+1 > xn , |
", |
|
|
" ( &$ ". |
|
|||
{xn} *, & n |
||||
|
$ |
xn+1 < xn , ", " ( |
|
|
$ ". |
|
|
||
# {xn} &, |
||||
+ . |
{xn} *, |
|
|
|
|
& |
n $ xn+1 xn , ", " (
$ " *,
& n |
$ xn+1 xn , |
", |
" ( &$ ". |
||
H ", & ", & " " |
||
. |
{ xn} = {n2 + 3n 2} |
|
%. C, |
|
".
& '. M n ,
xn+1 xn = (n + 1)2 + 3(n + 1) 2 n2 3n + 2 = ((n + 1)2 n2 ) + 3(n + 1 n) = 2n + 1 + 3 > 0
. . xn+1 > xn , , ".
|
|
I. < ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
. |
? |
a |
|
|
|
|
|||||||||||||
{xn} , & ( |
( |
N , |
|||||||||||||||||||
" ( , |
|
n > N |
|
xn a |
|
< . 7 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
, |
|
a |
{xn} , |
: |
|||||||||||||||||
lim x |
n |
= a |
xn |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%. C, |
lim |
1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& '. H > 0 ( N (, & |
|||||||||||||||||||
|
n > N |
|
|
& |
|
0 |
1 |
|
< |
, |
. . |
1 |
< . E |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n > 1 . ! N
126