Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
11
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
738.49 Кб
Скачать

, .

,

.

.

. X Y , ! x y

" . #

x X y Y ,

, X f $

 

 

 

 

 

y = f ( x), x X .

 

 

 

% X ( )

f ( x)

&

D( f ) ; x . %

f ( X )

( y Y , ! x X ,

! .

 

 

 

#

f ( X ) -( !

C ( . .

 

x X

 

C ),

 

(, ! $

 

 

 

 

 

 

 

y = f ( x) = C = const .

 

 

 

"

y = f (x)

( (

 

 

Oxy

 

Oxy

( x, f ( x)) , x X .

 

 

 

 

 

 

# :

 

 

 

 

1. 1 ( &: (

 

(.

!

 

 

F (x, y) = 0,

, y(x)

.

 

 

# & &

, , (

, " .

2.5 ( &: .

3.7 & ( &: & (, (

( " ( .

%.

1. 8 ( &

y =

 

2

 

.

 

 

 

 

x2

4

 

 

 

 

 

& '. & ,

. 7 &, &

: x2 4 > 0 . : x ( ; 2) (2;+ ) .

117

: D( f ) = {( ; 2) (2;+ )} .

2. 8 ( & y = 3x + log2 (x + 1) .

& '. "

, . >, & x + 1 > 0, x ( 1;+ ) .

: D( f ) = ( 1;+ ) .

 

 

(

 

1. ?

 

. @

y = f (x) & X

!), & x X

 

f ( x) = f (x) .

@ y = f (x) & X

!),

& x X f ( x) = f (x) .

@, , ,

* + . A , :

1.:& B ( B ( (

.

2.5 B ( .

3.5 B (

.

%.

1.

@ f (x) = x4 2x2 (, . .

( x)4 = x4 ,( x)2 = x2 ,

f ( x) = f (x) .

 

 

 

 

 

2.

@ f (x) =

x3 2x

(. C (,

x2

 

 

 

 

= x3 + 2x

 

 

 

 

f ( x) =

( x)3 2( x)

=

x3 2x

= f (x).

 

 

x2

 

 

 

( x)2

 

x2

 

 

3.

@ f (x) = 5x + 3

( &" ,

x x , , & (

, , .

2.

 

 

 

 

 

 

. @ y = f (x)

&

X

!, " T > 0 , :

 

 

 

1)

x X , x T X x + T X ;

 

 

 

 

2)

& x X f (x) = f (x + T ) ;

 

3)

 

 

 

T

 

$ .

E $

T

y = f (x) .

 

 

 

 

%.

f (x) = 3sin 2x + 1 T = ,

@

 

,

 

 

y = sin x

 

 

2 ,

sin 2x .

118

3. :

& X

. @ y = f (x)

+ !

 

X0 , ( X0 X ),

"

M ,

&

x X0

f (x) M . @

y = f (x)

+ !

X0 , "

m , & x X0 f (x) m .

@ y = f (x) + !

X0 ,

" L > 0 ,

& x X0

 

| f (x) | L .

 

 

 

 

:, ,

.

: , (

.

%.

@

f (x) =

 

1

 

( ( (. 7

 

x2 + 1

 

 

1

 

 

 

 

x2 0, 0

 

 

1,

 

! .

x2

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

4. %

.

@ y = f (x) *

X , & x1, x2 X x1 < x 2 ,

f (x1 ) < f (x 2 ) , &$ &$

.

 

@

y = f (x)

*

X , &

x1

, x2 X

x1 < x2 ,

f (x1 ) > f (x2 ) ,

&$

$ .

 

# y = f (x) X & X ,

+ X .

 

 

 

X ,

 

@ *

x1

< x2 ,

f (x1 ) f (x2 ) , & x1, x2 X ,

 

*

 

X ,

x1 < x2 ,

f (x1 ) f (x2 ) , &

x1

, x2 X .

 

 

 

" X

 

H ", & ", & "

, X .

 

 

 

%.

y = x3 ( ( (. C (,

 

@

x1 < x2 , x13 < x23 .

119

 

, , , .

 

 

 

y = f ( x) , ( X - ,

 

 

Y0 = f ( X )

- (. ! &

X

(

. 4.1

( " ( ). 7

 

y Y0 & - x X , . .

 

 

Y0

(

 

y

 

 

 

x = ( y) .

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f ( x) ,

 

Y0

y

 

 

( $

 

 

( & (. C & ( Y0

-

 

 

 

 

& ,

X

-

 

 

 

x

(. #

 

 

O

x

 

 

,

 

 

x = ( y)

 

 

X

 

 

 

 

$

 

 

I. 4.1

 

$ y = f ( x)

x .

 

 

 

 

 

 

H & & ( , &

($ & y = ( x) . A $

, ( & ( (

y = f ( x) y = ( x)

& .

 

 

#

y = f ( x) &

X ,

 

y Y0 , &

 

x X . H ! " & (

y = f ( x) .

8

 

&

 

 

X0

X ,

 

y = f ( x)

&. I

y = f ( x) ,

x X0 , x = ( y) , & (.

 

 

%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

y = x3 ,

(

(

( ( . . X = ),

( Y0

= . >,

!

&

y = 3 x ,

X = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (u), u U ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = ( x), x X .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120

 

 

 

 

 

y = f (u) U ,

u = ( x) X . :& ! ,

, ,

.

 

 

 

 

 

 

 

X * (

%

 

(

x X ,

 

 

"

u = ( x)

U f (u) .

 

 

 

 

u

 

 

! +

(

, x ,

 

" (

 

 

 

X * ,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (u) = lg u,

 

 

I

:

 

 

 

U = (0, + ) ,

 

u = ( x) = 1 x2 ,

 

X =

 

. !

 

(

X

)

=

(

,1

 

 

 

 

 

 

 

 

] .

 

 

 

%

( X )

 

U &" ! (

),

 

X * ( x ,

u = 1 x2 > 0 .

I$

& 1 < x < 1.

A,

 

 

 

y = lg (1 x2 ), x X * = ( 1,1)

 

-

: ! , ,

, & .

L , & ( : ,

, ,

.

. + ! ,

& ( (

.

M " & (:

1) (& ( );

y= a0 xn + a1xn 1 + ... + an 1x + an ,

ak - " , n -

;

2)&

(;

3); &

, ( (

( . (:

121

 

 

 

 

 

 

 

2x + 1

 

 

y =

3x

2

+ 2,

y =

.

 

5x + 3

N & ,

" & (,

(. ($

:

1)y = xa , a - x > 0 ;

2)y = ax (a > 0, a 1) ;

3)y = loga x(a > 0, a 1);

4)

y = sin x , y = cos x , y = tgx ;

5)

& y = arcsin x , y = arccos x

.

L ! ( &

($ , , "

" ( ( ( , ,

) ,

. 8, !

 

(

 

 

)

 

1 x2

 

 

 

 

 

y = lg

 

x +

1 + x2

 

,

y = arctg

2x4

, y = tg

 

 

 

.

 

 

 

x

x

% & ! ( ,

& ( (,

( (, " (

. 7, ,

x + 2, x 0,

 

 

 

y =

 

 

 

x2 , x > 0

 

 

 

! ( .

 

 

 

& ' !

 

 

 

% 1. 8 ( & y =

3

.

 

2 x

& ': H

 

 

, . .

x 2 , ! , & (

" x x = 2 .

 

 

 

 

 

 

% 2. 8 ( & y =

 

+

 

 

.

 

x 2

5 x

 

& ':

L

 

 

 

&

,

. .

 

 

x 2 0 5 x 0 , ! , & x 2 x 5 . H ! , x [2;5].

122

% 3. , & y = x3 + sin x (

(.

& ': x x

! . A , y = sin x -

, !

y( x) = ( x)3 + sin( x) = x3 sin x = (x3 + sin x) = y(x),

! , .

% 4. , & y = x2 + cos 2x (

(.

& ': x x

! . A , y = cos x

, !

y( x) = ( x)2 + cos 2( x) = x2 + cos 2x = y(x) ,

! , .

 

% 5. , & y =

3x

( (.

x + 5

 

 

 

& ': @

y

x = 5 . >,

y( x)

x = 5 . : x = 5 . !

& (, (, . . –

&" .

% 6. , & y = x2 + 3x + 7 (

(.

& ': x x : y( x) = ( x)2 + 3( x) + 7 = x2 3x + 7 .

7. . y( x) = y( x) y( x) = y ( x) .

7 &, (, (, . . ! &" .

% 7. , y = 3x2 + 7 (

( (, .

& ': 3x2 + 7 7 , ! . 7 x2

&$ ,

.

% 8. , y = 3x3 + 2x2

 

[0;+ ) .

 

 

 

 

 

& ': 0 x1 < x2 . 7 x13 < x23

x12 < x22 . >,

y(x ) = 3x2

+ 2x2

< 3x3 + 2x2 = y(x ),

1

1

1

2

2

2

. . .

123

% 9. , y = x2 3x &

( ;0] .

& ': x1 < x2 0 . C x x1 < x2

, & ( ! &

x12 > x22 . Q & x1 < x2 ,

3x1 > 3x2 . M , &

x12 3x1 > x22 3x2 , ! , y(x) &

.

8 4.1

1.C ( & .

2.C ( .

3.C ( B ( , B (

, &" . Q, (

& .

4.C ( ( . .

5.M ( , (

. .

6.M (, .

7.C ( & ( . Q B ".

8.L & H ? Q & (.

9.H, !.

10.C ( & ( .

11.C ( ( .

4.2.% . % .

( H "

:

% .

.

; ' .

: ! ! ' .

H

.

# H & , & [3],

2, . 26-42 – .

124

%

(

, . %

($

.

. @, ,

! .

f (n),(n = 1, 2,...) .

 

A,

>

& B

 

&

& : f (1) = x1, f (2) = x2 , f (3) = x3,L, f (n) = xn ,L.

$( x1, x2 ,L, xn ,L

! ( & {xn}.

!

 

xn

,

xn = f (n)

- * ! {xn} .

? "

 

(, " (

 

 

1

 

 

 

n

&" ( xn . 8, {xn} =

 

,

{xn} = ncos

 

.

 

 

 

 

n

 

 

2

. {xn} + !,

"

M > 0, , n

xn M .

1, {xn} + !

( ), M , + ! ( ), $

m .

:, ,

. # ( ,

& (. :,

( ) & ":

. {xn} + !,

& M > 0,

(

n0 ,

 

 

 

xn

 

> M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%.

{x } = {1}

 

 

 

 

 

1.

,

 

 

 

n

n

n

 

 

 

xn

 

1.

{xn} = {n 5} ,

xn 4

 

 

2.

n .

3.{xn} = { 1 n} ; xn 1.

125

4. {n 5} { 1 n} .

. {xn} *,

&

n $ xn+1 > xn ,

",

 

" ( &$ ".

 

{xn} *, & n

 

$

xn+1 < xn , ", " (

 

$ ".

 

 

# {xn} &,

+ .

{xn} *,

 

 

 

&

n $ xn+1 xn , ", " (

$ " *,

& n

$ xn+1 xn ,

",

" ( &$ ".

H ", & ", & " "

.

{ xn} = {n2 + 3n 2}

%. C,

 

".

& '. M n ,

xn+1 xn = (n + 1)2 + 3(n + 1) 2 n2 3n + 2 = ((n + 1)2 n2 ) + 3(n + 1 n) = 2n + 1 + 3 > 0

. . xn+1 > xn , , ".

 

 

I. < !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

?

a

 

 

 

 

{xn} , & (

(

N ,

" ( ,

 

n > N

 

xn a

 

< . 7

 

 

,

 

a

{xn} ,

:

lim x

n

= a

xn

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%. C,

lim

1

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& '. H > 0 ( N (, &

 

n > N

 

 

&

 

0

1

 

<

,

. .

1

< . E

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n > 1 . ! N

126

Соседние файлы в папке attachments_22-12-2011_21-07-09