- •Введение
- •1. Общие положения
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Принцип управления по возмущению
- •1.3. Принцип управления по отклонению
- •1.4. Классификация асу
- •2. Составление и линеаризация уравнений движения элементов системы
- •3. Методы решения линейных дифференциальных уравнений
- •3.1. Классический метод
- •3.2. Решение ду с помощью преобразования Лапласа
- •3.3. Частотные характеристики линейных систем
- •3.4. Условия однозначной связи между частотными характеристиками
- •3.5. Связь между операторами преобразования сигналов линейной системы
- •4. Типовые динамические звенья асу
- •4.1. Усилительное звено
- •4.2. Апериодическое звено первого порядка
- •4.3. Апериодическое звено второго порядка
- •4.4. Колебательное звено
- •4.5. Интегрирующее звено
- •4.6. Дифференцирующее звено
- •4.7. Звено с запаздыванием
- •4.8. Полуинерционное звено
- •5. Структурные схемы асу
- •5.1. Обозначения в структурных схемах линейных систем
- •5.2. Передаточная функция замкнутой асу
- •5.3. Правила структурных преобразований
- •5.4. Использование графов для преобразования структурных схем
- •5.5. Формула Мезона
- •5.6. Многомерные системы управления
- •5.7. Управляемость и наблюдаемость
- •6. Устойчивость асу
- •6.1. Переходные процессы в асу
- •6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •6.3. Частотные критерии устойчивости
- •7. Анализ качества процесса управления
- •7.1. Прямые методы
- •7.2. Косвенные методы
- •8. Методы синтеза асу
- •8.1. Законы регулирования в линейных асу
- •8.2. Коррекция линейных асу
- •8.3. Принцип инвариантности
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
3.3. Частотные характеристики линейных систем
Пусть ДУ системы имеет вид
. (3.14)
Воспользуемся прямым преобразованием Фурье, которое можно получить из преобразования Лапласа при p = j:
. (3.15)
Тогда (3.14) запишется в виде
.
Отсюда
. (3.16)
Выражение (3.16) представляет собой частотную функцию или амплитудно-фазочастотную характеристику системы (АФЧХ),
,
где W(j) = A() – амплитудно-частотная характеристика системы (АЧХ), а argW(j) = () – фазочастотная характеристика системы (ФЧХ).
Частотная функция системы (3.16) может быть представлена в алгебраическом виде:
W(j) = A()ej() = P() + jQ(),
где
В данном случае P() называютвещественной частотной характеристикой, аQ() –мнимой частотной характеристикой. Ее также можно представить в логарифмическом виде:
lgW(j) = lgA() + j()lge,
где lge = 0,434.
В случае подачи на вход системы гармонического сигнала x = asintили, частное решение уравнения (3.14) отыскивается в том же виде, что и входной сигналx(t):
y(t) = A0 sin(t + ) или y*(t) = A0 ej( + t).
A(j)A0ej = B(j)a,
. (3.17)
Из сопоставления уравнения (3.16) с уравнением (3.17) при = const получим
.
Если – переменная величина ( = var), то величинаA0будет функцией частоты, тогдагдеA() –амплитудно-частотная характеристика(рис.3.6, а), которая характеризует усиление периодического сигнала на различных частотах. При измененииизменяется и фаза выходного сигналаyпо отношению к входномуx, т.е. имеем() – фазочастотная характеристика (рис.3.6, б). Здесьр– резонансная частота.
Геометрическое место концов вектора частотной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности называется годографом вектора W(j) (рис.3.6, в).
Заметим, что для нахождения функции действительного переменного tпри известной функцииY(j) необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье:
.
3.4. Условия однозначной связи между частотными характеристиками
Системы, которые удовлетворяют этим условиям, называются минимально фазовыми. Из всех возможных систем с одной и той же АЧХ они дают наименьший сдвиг фазпри любой частоте.
➢ Пример 5. ПустьW1(j) = 1 (линия передачи сигнала). Следовательно,A1() = 1, а1() = 0. Пусть
,
где a = const.
Тогда
;.
Поскольку корень числителя W2(j) лежит в нижней полуплоскости (1 = –ja), эта система принадлежит к классу неминимально-фазовых, а2() отлична от нуля при0 и зависит ота.
Таким образом, системы имеют одинаковые амплитудно-частотные характеристики A1() = A2() = 1, но разные фазо-частотные. Последнее свидетельствует о неоднозначности связи междуA2() и2() и необходимости рассматривать эти характеристики совместно.