Контрольные вопросы и задания

1. Построить множество Парето задачи векторной оптимизации q₁ = x₁² + x₂²  min,

q₂ = (x₁ – 2)² + (x₂ – 4)²  min,

где x₁, x₂N и –1  x₁, x₂  5.

2. Изобразить графически множество Парето задачи векторной оптимизации q₁(x) = x²  min,

q₂(x) = 2(x – 4)²  min

в системе координат q₁Oq₂.

3. Изобразить графически множество Парето-оптимальных точек множества Q = { (q₁, q₂) | q₁² + q₂²  4 }, если оба критерия q₁ и q₂ необходимо максимизировать.

4. Пусть линия, задаваемая уравнением q₁ + 2q₂ = 4, является множеством Парето в пространстве критериев. Критерий q₁ необходимо максимизировать. Каким должен быть критериий q₂ (максимизируемым или минимизируемым)?

5. Доказать, что условия теоремы 7 являются не только достаточными, но и необходимыми.

Приложение Метод математической индукции

Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента n. Он основан на следующем принципе математической индукции: утверждение справедливо для любого натурального n, если: 1⁰ оно справедливо для n = 1;

2⁰ из того, что оно верно для всех n  k (k  1) следует его справедливость для n = k + 1.

Этот принцип, являющийся одной из аксиом натурального ряда можно перефразировать так: если в цепочке утверждений Р(n) первое утверждение Р(1) верно, а из справедливости Р(k) следует справедливость Р(k + 1), то вся цепочка состоит из вер-ных утверждений.

Пример 1. Найти сумму .

Решение. Имеем:;;;. Есть подозрение, что. Докажем эту формулу.

1⁰. При n = 1 – формула верна.

2⁰. Предположим, что для произвольного k  1 для всех n  k . В частности, дляn = k . Найдем. Имеем. По предположению это равно

= ==,

что и требовалось доказать.

Слово “индукция” переводится как “наведение”. Во многих отраслях науки используют метод простой (не математической) индукции – вывод, полученный после рассмотрения ряда частных случаев (согласно принципу простой индукции – от частного к общему). В основном так поступают, обобщая результаты каких-то экспериментов. Так, в предыдущем примере, при выводе возможной формулы для S_n, предварительно были найдены значения S₁, S₂, S₃, … . Однако индуктивное утверждение может быть неверным, простая индукция позволяет лишь выдвинуть гипотезу, которую надо доказать, например, с помощью математической (полной) индукции. Можно привести много примеров, когда простая ндук-ция приводит к ошибочным выводам. Например, анализируя числа 1, 3, 5, 7 можно прийти к неверноиу заключению, что все не-четные числа являются простыми.

Слово ”индукция” в названии рассматриваемого метода, видимо, связано с тем, что для его использования необходимо сначала догадаться, что именно следует доказать, т.е. выдвинуть гипотезу. Обычно это делается с помощью простой индукции.

Пример 2. “Докажем”, что все натуральные числа равны между собой. Предположим, что k = k + 1. Прибавим по 1 к обеим частям этого равенства. Получим k + 1 = k + 2, что и требовалось доказать. Ошибка этого “доказательства” состоит в отсутствии проверки утверждения при n = 1.