ОГЛАВЛЕНИЕ

	Введение	4
	Глава 1. Теория множеств	5
1.	Основные понятия теории множеств	5
2.	Операции над множествами	8
3.	Отображения	14
4.	Мощность множества	20
5.	Свойства счетных множеств	24
6.	Свойства множества действительных чисел	27
7.	Множества мощности континуума и выше	33
8.	Нечеткие множества. Основные понятия	36
9.	Методы построения функций принадлежности нечетких множеств	41
10.	Операции над нечеткими множествами	43
11.	Алгебраические операции над нечеткими множествами	45
12.	Принцип обобщения	47
	Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора	49
1.	Бинарные отношения и операции над ними	49
2.	Свойства операций над бинарными отношениями	53
3.	Способы задания бинарных отношений	56
4.	Свойства бинарных отношений	58
5.	Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие	65
6.	Слабый порядок	67
7.	Разбиение и эквивалентность	69
8.	Качественный порядок	70
9.	Нечеткие отношения. Основные понятия	76
10.	Операции над нечеткими отношениями	78
11.	Функция выбора. Основные понятия	80
12.	Классификация функций выбора	82
13.	Задача векторной оптимизации	88
	Приложение	92
	Библиографический список	95

ВВЕДЕНИЕ

Курс "Дискретная математика" содержит большой материал, не изучаемый в рамках стандартного ВТУЗовского курса высшей математики, но без знания, которого невозможно овладение профессией специалиста по компьютерным технологиям. Предлагаемое пособие представляет собой первую часть запланированной серии учебно-методических разработок по курсам “Дискретная математика” и “Математическая логика” и посвящено изложению вводных, наиболее абстрактных разделов.

Цель, которую ставили перед собой авторы, заключается в выборе из огромного учебного и научного материала, предназначенного в основном для профессиональных математиков с соответствующей подготовкой, или студентов университетов и педагогических институтов, наиболее важных разделов, и изложение их в форме, доступной для студентов, знание математики которых ограничено рамками курса высшей математики технического Вуза. В пособие вошел также материал научных разработок кафедры ММИТС ВГТА, изучение которого окажет существенную помощь студентам специальности 071900 при написании курсовых и дипломных работ.

Глава 1. Теория множеств

Теория множеств составляет основу современной математики. Необходимость ее изучения вытекает из следующих соображений:

1. Теория множеств имеет дело с самыми общими (абстрактными) математическими понятиями, такими, как множества и их элементы, причем не имеет значения, какие именно предметы сдержатся в множестве. Поэтому теоремы, доказанные в рамках теории множеств будут иметь универсальный характер.

2. Символы и выражения теории множеств составляют универсальный язык математики.

1. Основные понятия теории множеств

 Для множества не существует строгого определения, поэтому введем описательные понятия множества и его элементов.

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Пусть имеется множество А, элементом которого является предмет а. Это записывается как А={а}. Например, А={1, 2, 3}.

Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аА, а если b не принадлежит А, то – bА. Например, пусть А – множество четных натуральных чисел, тогда 6А, а 3А.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хА, то хB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АВ ( – символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде

(АВ и ВА)  (А = В).

Множество А строго включено в множество В, если все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А.

Пример: А = { 1, 2, 3 }, В = { 0, 1, 2, 3 }, АВ.

Возможны два способа задания множества.

1. Перечислением элементов, т.е. в фигурных скобках дается полное перечисление элементов данного множества. Например: N = {1,2,...,n,...} – множество натуральных чисел.

2. С помощью указания характерного свойства (указание свойства, которым обладают только элементы данного множества). Символически это записывается в виде A={x | P(x)} и читается: A есть множество всех элементов х, обладающих свойством P(x).

При задании множества вторым способом возможны различные противоречия и парадоксы. Рассмотрим примеры таких парадоксов.

1) Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?

2) Пусть имеем натуральное число 11218321 - одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А –множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим а_min – наименьшее число из множества А, причем а_minA. Число а_min можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, а_min можно определить с помощью фразы, содержащей менее 20 слов. Тогда получается, что а_min А.

Существует много подобных примеров, когда определение множества оказывалось внутренне противоречиво, однако, выяснение условий, при которых это может иметь место, требует специальных исследований, составляющих предмет математической логики, и выходит за рамки собственно теории множеств. Поэтому в дальнейшем изложении мы не станем касаться спорных случаев, и будем рассматривать лишь множества, которые определяются точно и без противоречий.

В теории множеств имеется специальное множество, называемое пустым множеством (), которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество по определению содержится в любом множестве А (А,  A). Это понятие вводится из следующих соображений. Задавая множество вторым способом не всегда заранее можно быть уверенным, существуют ли элементы, ему принадлежащие. Например, можно говорить о множестве четырехугольников на плоскости, у которых все углы прямые, а диагонали не равны. Только знания основ геометрии позволяют убедиться, что таких четырехугольников не существует и, следовательно, это множество пусто.

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

( x  А)   (x  В).

2. Доказательство равенства А = В. Оно сводится к доказательству двух включений А  В и В  А.

Пример 1. Докажем следующую теорему. Для любых множеств А, В и С выполняется закон транзитивности нестрогого включения, т.е. если А  В и В  С, то из этого следует, что АС.

Доказательство. Пусть x – любой элемент множества А, (xА), тогда в силу условия А  В, по определению нестрогого включения, элемент х принадлежит множеству В (хB). После доказательства этого факта, аналогично, используя условие В  С, можно доказать, что х принадлежит С (хС).

В качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из А. Из этого допущения при выполнении условий а) и б) получено следствие хС. По определению нестрогого включения это означает А  С, что и требовалось доказать.

Пример 2. Пусть А={1,6}, В ={х | х²-7х+6=0}. Последнее читается так: В является множеством элементов х, для которых выполняется условие х² – 7х + 6 = 0. Включение А  В доказывается подстановкой элементов множества А в это условие. Для доказательства обратного включения В  А нужно найти все корни уравнения и убедиться, что они равны 1 и 6, т.е. принадлежат А. Выполнение обоих нестрогих включений означает равенство множеств А и В.