Пример решения

Задача 2 для отношения, определенного в задаче 15(г) п.1.

G_R(x) ={ yR | 2y  3x }= [ 3x/2, + ),

H_R(x) ={ yR | 2x  3y } = ( -  , 2x/3 ].

4. Свойства бинарных отношений

1) Рефлексивность.

Отношение R называется рефлексивным, если (х, х)R для любого хA.

Примеры рефлексивных отношений: отношения "", "" на множестве R.

2) Антирефлексивность.

Отношение R называется антирефлексивным, если (х, х)R для любого хA.

Примеры антирефлексивных отношений: отношения "<", ">" на множестве R.

Если R – антирефлексивное отношение, то xG_R(x) и хH_R(x) для любого хA .

3) Симметричность.

Отношение R называется симметричным, если для любых x, yA из того, что (x, y)R следует (y, x)R и обратно.

Примеры симметричных отношений: отношения "=" и "".

Если отношение R симметрично, то для любого хA

а) G_R(x) = H_R(x); б) R = R^–1.

4) Антисимметричность.

Отношение R называется антисимметричным, если для любых x и y из A из одновременного выполнения условий (x, y)R и (y, x)R следует, что x = y.

Пример антисимметричного отношения. Пусть А – множество людей в данной очереди. Отношение R – "не стоять за кем-

то в очереди" будет антисимметричным.

Пусть х = ВАСЯ, а y = ИВАНОВ. Тот факт, что (x, y)R означает, что "ВАСЯ не стоит в очереди за ИВАНОВЫМ", (y, x)R – "ИВАНОВ не стоит за ВАСЕЙ". Очевидно, что одновременное выполнение обоих включений может быть, только если ВАСЯ и есть ИВАНОВ, т.е. x = y.

Отношение "" также антисимметрично: если x  y и y  x, то x=y.

5) Асимметричность.

Отношение R асимметрично, если R  R^-1= , т.е. пересечение отношения R с обратным отношением пусто.

Эквивалентное определение асимметричности: из двух отношений (x, y)R и (y, x)R одно не выполняется.

Примеры асимметричных отношений: ">", "<", "быть начальником".

Если R – асимметричное отношение, то из xRy следует yx.

Для любого отношения R вводятся понятия симметричной части отношения R^s = R R^-1 и асимметричной части отношения R^a = R \ R^s. Если отношение R симметрично, то R= R^s, если отношение R асимметрично, то R = R^a.

Примеры. Если R – "", то R^–1 – "<", R^s – "=", R^a – ">".

6) Транзитивность.

Отношение R транзитивно, если для любыx x, y, zA из того, что (x, y)R и (y, z)R следует (x, z)R.

Свойства транзитивного отношения:

а) RoR  R;

б) для любого хA из yG_R(x) следует, что G_R(y)  G_R(x).

Нетранзитивным является отношение "". Пусть x = 2, y = 3, z = 2, тогда справедливо x  y и y  z, но x = z, т.е. (x, z)R.

Отношение R₁ называется транзитивным относительно отношения R₂, если:

а) из (x, y) R₁ и (y, z) R₂ следует, что (x, z) R₁;

б) из (x, y) R₂ и (y, z) R₁ следует, что (x, z) R₁.

7) Негатранзитивность.

Отношение R называется негатранзитивным, еслиR транзитивно.

Примеры.

Отношения R₁ –">" и  R₂ –" " негатранзитивны, так как отношенияR₁ – "",R₂ – "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R₁ одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R₂ , как известно, транзитивным не является.

8) Полнота.

Отношение R полно, если для любых x, yА либо (x, y)R, либо (y, x)R, либо оба отношения выполняются одновременно.

Свойства полных отношений:

а) G_R(x)  H_R(x) = А для любого хA;

б) полное отношение рефлексивно.

9) Слабая полнота.

Отношение R называется слабо полным, если для любых х  y из А или (x, y)R, или (y, x)R.

Пример слабо полного отношения. Пусть А – множество предприятий, "неблагополучных" в смысле своего бюджета. Отношение R "быть должным" является слабо полным, так как каждое из этих предприятий или кому-либо должно, или ему кто-то должен, но быть должным самому себе нельэя и (x, x)R.

10) Ацикличность.

Бинарное отношение R ациклично, если Rⁿ R^–1=  для любого nN . Иными словами, если из любой конечной цепочки отношений х₁Rx₂, x₂Rx₃,..., x_n-1Rx_n следует, что x₁х_n, то отношение R ациклично.

1. Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда R^d антисимметрично.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть R слабо полно и x  y. Рассмотрим три случая.

1) (x, y)R.Тогда, по определению обратного отношения (y, x)R^-1, а по определению двойственного отношения – (y, x)R^d. 

2) (y, x)R, тогда (x, y)R^–1 и, следовательно, (x,y)R^–1 = R^d.

3) (x, y)R и одновременно (y, x)R. Отсюда, (y, х)R^d и (x, y) R^d.

Так как R – слабо полное отношение, то для любых x  y выполняется либо случай а), либо б), либо в). Ни в одном из этих случаев включения (x, y)R^d и (y, x)R^d не могут выполняться одновременно. Следовательно, отношение R^d антисимметрично.

Докажем, что из антисимметричности R^d следует слабая полнота отношения R. Рассмотрим эквивалентное определение антисимметричности. Если x  y, то либо (x, y)R^d и (y, x) R^d, либо (x, y)R^d и (y, x)R^d, либо (x, y)R^d и (y, x)R^d. В первом случае получим, что (x, y)R, во втором – (y, x)R, в третьем – (x, y)R и (y, x)R. Это утверждение означает, что отношение R слабо полно.

2. Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда R^d полно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть R – асимметрично. Тогда по определению, R  R^–1 = . Рассмотрим два случая.

1) (x, y)R. Тогда (х, y)R^–1, значит, (x, y)R^d.

2) (x, y)R. Тогда (x, y)R и (y, x) R^–1 = R^d.

В любом случае либо (x, y)R^d, либо (y, x)R^d, а это означает, что R^d – полно.

Докажем обратное следствие. Пусть R^d полно. Снова рассмотрим два случая:

а) (x, y)R^d, тогда (y, x)R;

б) (y, x)R^d, тогда (x, y)R.

Так как R^d полно, то либо случай а), либо случай б) всегда будет иметь место, а отсюда следует невозможность одновременного выполнения yRx и xRy. Это означает, что R асимметрично.