Примеры решения

Задача 4.

1) Докажем включение (PQ)\(AB)((P\A)Q) (P(Q\B)).

Пусть (x,y)(PQ) \ (AB), тогда (x,y)(PQ) и (x,y)(AB). Это означает, что xP, yQ и либо xA, либо yB. В первом случае имеем xP, yQ , xA, следовательно, (x, y)(P \ A)Q. Аналогично для второго случая получим, что (x, y)P(Q \ B). Следовательно, (x, y)((P \ A)Q)  (P(Q \ B)).

2) Докажем теперь обратное включение.

Так как (x, y)((P \ A)Q)  (P(Q \ B)), то (x, y)(P \ A)Q  или

(x, y)P(Q \ B). В первом случае получим, что xP, xA, yQ, во втором – xP, yQ , yB. Следовательно, в обоих случаях получим, (x, y)(PQ) и (x, y)(AB), что и означает требуемое.

Задача 15 (а).

_R={ xN  | yN,  x делит y }= N, так как для любого натурального x найдется yN, например y = x, такой, что x делит y.

_R={ yN | xN,  x делит y }=N, так как для любого натурального y найдется xN, например x = 1, такой, что x делит y.

R ^–1 ={ (x, y) | x, yN, y делит x }.

RoR={ (x, y)N ² |  zN, x делит z и z делит y } = R, так как для любой пары (x, y)N ², такой, что x делит y, такое значение z существует, например z = x.

RoR ^–1={ (x, y)N ² |  zN, x делит z и y делит z }=N ². Такое натуральное z существует для любой пары (x, y)N ², например z=xy.

R ^–1oR={ (x, y)N ² |  zN, z делит x и z делит y } = N ². Такое натуральное z существует для любой пары (x, y)N ², например z = 1.

2. Свойства операций над отношениями

Приведем здесь список основных свойств операций над отношениями и докажем некоторые из них.

1)  R_k ^–1=(  R_k ^–1. k k

2)  R_k ^–1=( R_k  ^–1. k k

3) (R₁ o R₂) ^–1 = R₁ ^–1o R₂ ^–1.

4) (R₁ o R₂ ) o R₃ = R₁ o (R₂ o R₃).

5) (R₁  R₂ ) o R₃ = (R₁ o R₃ )  ( R₂ o R₃ ).

6) (R₁  R₂ ) o R₃  (R₁ o R₃ )  ( R₂ o R₃ ).

7)  а) если R₁  R₂ то R₁ o R₃  R₂ o R₃;

б) если R₁  R₂ то R₃ o R₁  R₃ o R₂;

в) если R₁  R₂ то R₁^–1 R₂^–1.

8. a) (R₁ R₂)^d = R₁^d  R₂^d;

б) (R₁ R₂)^d = R₁^d  R₂^d;

в) (R ^d)^d = R.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Свойство 2.

Пусть пара (x, y)( R_k  ^–1. Тогда (y, x) R_k. Это означает, что найдется отношение R_j, что (y, x) R_j. Отсюда, по определению обратного отношения, (x, y)R_j^–1, а значит, (x, y)R_k^–1и (R_k^–1   R_k^–1.

Докажем обратное включение. Пусть (x,y) R_k^–1 Это означает, что найдется такое множество R_j, что (x,y)R_j^–1. Следовательно, (y, x)R_j  и (y, x) R_k , поэтому (x, y)( R_k ^–1. Значит,    R_k^–1  (R_k^–1.

Одновременное выполнение обоих включений означает

равенство множеств, что и требовалось доказать.

Свойство 6.

Пусть (x, y)(R₁  R₂) o R₃. По определению композиции это означает, что найдется такое zA, что (x, z)(R₁  R₂) и (z, y)R₃. Первое включение возможно только тогда, когда одновременно выполнено (x, z)R₁ и (x, z)R₂. Это, в свою очередь означает, с учетом (z, y)R₃, что одновременно (x, y)R₁ o R₃ и (x, y)R₂ o R₃, а, следовательно, (x, y)(R₁ o R₃)  (R₂ o R₃), что и доказывает требуемое соотношение.

ЗАМЕЧАНИЕ. Покажем, почему неверно обратное включение. Пусть (x, y)(R₁ o R₃)  (R₂ o R₃), тогда (x, y) (R₁ o R₃) и (x, y) (R₂ o R₃). Первое включение означает существование такого элемента z₁  из A, что (x, z₁)R₁ и (z₁, y)R₃, второе – существование такого z₂A, что (x, z₂)R₂ и (z₂, y)R₃, причем необязательно z₁ = z₂. Значит, не всегда существует такой элемент z, что (x, z)R₁ и (x, z)R₂, а, следовательно, не будет принадлежности пересечению R₁ и R₂.

Свойство 7в.

Возьмём любую пару (x, y)R₁, что эквивалентно (y, х) R₁^–1. Пусть теперь R₁  R₂, т.е. из (x, y)R₁ следует (x, y)R₂. Перейдя к обратным отношениям, получим, что из (y, х)R₁^–1 вытекает (y, х)R₂^–1, что и означает требуемое свойство.

Свойство 8а.

Докажем предварительно равенство =

Пусть (x, y) . Следовательно, (y, x)R или, другими словами, (y, x)R. Отсюда, ( x, y) R^–1, что означает  и (x, y) . Если же (x, y) , то (x, y)R^–1 и (y, x)R. Тогда (y, x)R или, что то же самое, (x,y)(R )^–1.

Для доказательства свойства 8а воспользуемся доказанным равенством и известными свойствами операций над множествами и отношениями. ________­­_ _____

(R₁  R₂)^d = ( R₁  R₂)^–1 = R₁  R₂^-=

= (R₁ R₂) =R₁^–1  R₂^–1 = R₁^d  R₂^d.