2.2.2. Индексы корреляции и детерминации

Теснота связи между признаками при любой (отличной от линейной) форме связи характеризуется индексами корреляции и детерминации. При парных связях между параметрами индекс корреляции имеет следующий вид :

где – факторная дисперсия результативного признакаy ;

–общая дисперсия результативного признака;

–остаточная дисперсия.

Факторная дисперсия результативного признака отображает вариацию результативного признака y только от воздействия изучаемого факторного признака x

где – теоретические значения результативного признака (значения линии регрессии) при значениях факторного признака;

–среднее значение результативного признака.

Отклонения характеризуют колеблемость выравненных (теоретических) значенийот их общей средней величины (рис.2.2).

Общая дисперсия результативного признака отображает совокупное влияние всех факторов (рассматриваемого факторного признака и прочих неучтенных признаков):

y

.

. .

.

.

x

Рис.2.2. Эмпирические данные результативного признака и

линия регрессии

где – эмпирические значения результативного признака.

Остаточная дисперсия характеризует вариацию результативного признака от всех прочих признаков кроме факторного

Отклонения характеризуют колеблемость эмпирических (фактических) значений результативного признакаот их выравненных значений.

При функциональной связи значения линии регрессии совпадают с индивидуальными эмпирическими значениями. Тогда остаточная дисперсия, факторная совпадает с общей дисперсиейи индекс корреляцииравен 1. При наличии корреляционной связи всегда факторная дисперсия меньше общей дисперсии иПри линейной связи между признаками индекс корреляции совпадает с парным коэффициентом корреляции.

Индекс детерминации

выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изучаемым фактором x .

2.2.3. Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции (коэффициент множественной корреляции, совокупный коэффициент множественной корреляции) r_y характеризует степень тесноты линейной статистической связи (зависимости) результативного y и линейной комбинацией факторных x₁, x₂, . . ., x_m признаков

где – факторная дисперсия результативного признака, полученная с учетом факторовx₁, x₂, . . ., x_m ;

–общая дисперсия результативного признака, полученная с учетом факторных признаков x₁, x₂, . . ., x_m и всех прочих признаков;

–остаточная дисперсия результативного признака, полученная при элиминации (исключении) влияния факторных признаков x₁, x₂, . . ., x_m.

Факторная, остаточная и общие дисперсии результативного признака определяются следующим образом :

где ,,– соответственно расчетное (теоретическое), среднее и эмпирическое (опытное) значения результативного признака.

Чем плотнее фактические значения располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия (больше факторная дисперсия) и, следовательно, больше величина множественного коэффициента корреляцииr_y .

Таким образом, коэффициент множественной корреляции, как и величина остаточной дисперсии, характеризует качество подбора уравнения регрессии.

При отсутствии связи между результативным и факторными признаками факторная дисперсия, а также коэффициент множественной корреляции равны нулю и линия регрессии совпадает со средним значением При функциональной связи факторная дисперсия совпадает с общей дисперсией, а множественный коэффициент корреляции равен 1.

Множественный коэффициент корреляции никогда не уменьшается с расширением набора факторных признаков, относительно которых измеряется зависимость результативного признака.

Квадрат величины коэффициента множественной корреляции является коэффициентом множественной детерминации

и характеризует долю влияния выбранных факторных признаков на результативный фактор.

При статистической оценке тесноты связи между результативным y и двумя факторными признаками x₁, x₂ может быть использована следующая формула :

где – парные коэффициенты корреляции.

Методика оценки тесноты связи при нелинейной модели регрессии такая же, как при линейной. Коэффициент связи при этом называется индексом множественной корреляции, а его квадрат – индексом множественной детерминации.