2.1.2. Анализ множественной корреляции

Изменение экономических явлений обычно происходит под влиянием не одного, а большого числа самых разнообразных факторов. Статистическая модель, показывающая связь между результативным и несколькими факторными признаками, представляет собой уравнение множественной регрессии. Уравнения множественной регрессии могут быть линейными, криволинейными и комбинированными.

Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с двумя независимыми переменными

Параметры этого уравнения определяются решением системы нормальных уравнений, составленных в результате применения метода наименьших квадратов:

В общем виде линейная регрессия сm независимыми переменными имеет вид

В случае множественной регрессии оценки параметров уравнения регрессии

a_j с помощью метода наименьших квадратов удобнее представить в матричном виде.

Уравнение регрессии с оцененными параметрами в матричном виде

где а = (а_j) – вектор оценок параметров;

X = (x_ij) – матрица значений независимых переменных (факторных признаков) размерностью n(m+1)

Линейная модель в векторном виде имеет вид

y = Xa + e,

где e = (e_i ) – вектор ошибок в уравнении с оцененными параметрами.

Сумма квадратов отклонений равна

В данных выражениях знак “т” обозначает операцию транспонирования, т.е. строки исходной матрицы в транспонированной матрице занимают положение столбцов.

2.2. Оценка тесноты статистической связи количественных показателей

2.2.1. Парный коэффициент корреляции

Парный коэффициент корреляции– числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь следующим образом:

где MX, MY – математическое ожидание соответственно факторного и результативного признаков;

–среднее квадратическое отклонение величин X и Y.

Если (X, Y) является двумерной нормально распределенной величиной, то коэффициент корреляции является измерителем степени зависимости величин X и Y. Если закон распределения двумерной величины (X,Y) отличен от нормального, тоизмеряет степеньлинейной зависимости.

Выборочный коэффициент корреляции r_xy рассчитывается по результатам n наблюдений двумерной величины (X,Y) по следующе формуле:

где – выборочные средние квадратические отклонения X и Y.

Величина | r | измеряет степень линейной зависимости результатов иприi= 1, n наблюдений. Если r>0 , то при увеличении значения одной из величин вторая имеет тенденцию к увеличению. Если r<0 , то при увеличении значений одной величины вторая имеет тенденцию к уменьшению.