3.4.2. Выравнивание рядов динамики с помощью среднего прироста

Средний абсолютный прирост ряда динамики (см.п.3.2.) определяется следующим образом:

Средний прирост позволяет путем последовательного прибавления его к первому фактическому уровню найти последующие уровни

где – выравненные уровни ряда динамики, которые отличаются от фактических тем, что они вычислены в предположении их плавного возрастания (или убывания), без скачков.

3.4.3. Аналитическое выравнивание рядов динамики

Аналитическое выравнивание заключается в выборе модели тренда ряда динамики (см.п.3.3.) методом наименьших квадратов (см.п.2.1.). В качестве фактора, влияющего на значение показателя, в рядах динамики выступает время.

Для линейной модели тренда

методом наименьших квадратов составляется система уравнений, используемая для расчета параметров уравнения тренда

Для модели тренда в виде параболы

система уравнений имеет следующий вид:

Если ряд динамики содержит нечетное число членов, то расчеты коэффициентов a, b и c удобно проводить, обозначив время t так, чтобы сумма времени в нечетных степенях равнялась нулю. Например для семи членов ряда время можно обозначить: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3, тогда системы уравнений для расчета коэффициентов моделей линейного и параболического трендов упрощаются и имеют следующий вид:

3.4.4. Экспоненциальное сглаживание рядов динамики

Экспоненциальное сглаживание представляет собой модифицированный метод наименьших квадратов, при котором более поздним наблюдениям придается больший вес, что учитывает их большую информационную ценность. Осуществляется с помощью экспоненциально–взвешенных скользящих средних, или кратко, экспоненциальных средних:

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t ; x_t – уровень ряда в момент t ; – постоянная сглаживания

Экспоненциальную среднюю можно записать следующим образом:

Для того, чтобы экспоненциальную среднюю выразить через значения ряда динамики x , используются указанные рекуррентные соотношения. Например, при трех уровнях ряда

В общем виде экспоненциальная средняя в момент t имеет следующий вид:

где N – число уровней ряда; S₀ – начальное значение экспоненциальной средней.

При , а сумма коэффициентов

Тогда

Эта величина равна средней взвешенной всех членов ряда, причем веса падают по мере увеличения давности наблюдения.

Процедура экспоненциального сглаживания работает как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. Чем меньше постоянная сглаживания , тем в большей степени подавляются колебания исходного ряда.

Повторное применение экспоненциального сглаживания к результатам предшествующего экспоненциального сглаживания позволяет получить экспоненциальные средние более высоких порядков. Многократное экспоненциальное сглаживание используется при прогнозировании уровней ряда динамики.