4. Контрольные задания и методические указания к их выполнению контрольная работа № 1

В настоящей контрольной работе на основе исходной информации (таблица 1 и 2) необходимо рассмотреть две рисковые альтернативы, состоящие в приобретении акций одного вида. На основании опроса методом простого шанса следует построить функцию рисковой полезности.

Таблица 1

Будущие доходы по акциям (руб.)

Вид акций	Будущие состояния экономики
	1-е	2-е	3-е	4-е	5-е
	P1=0,17	P2=0,21	P3=0,33	P4=0,1	P5=0,19
Акции 1-го вида	110	230	30	50	220
Акции 2-го вида	80	250	150	10	90
Акции 3-го вида	40	70	240	120	100
Акции 4-го вида	210	190	20	200	180
Акции 5-го вида	170	140	130	60	160

Таблица 2

Варианты заданий

Вариант задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Инвестиционные альтернативы (два вида акций)	1 и 2	1 и 3	1 и 4	1 и 5	2 и 3	2 и 4	2 и 5	3 и 4	3 и 5	4 и 5

Для использования функции рисковой полезности на практике ее необходимо построить для каждого лица, принимающего решения. При этом обычно рекомендуют проводить опрос методом простого шанса, или простой лотереи, под которой понимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны в сумме равны единице. Также пользуются понятием гарантированного дохода, под которым понимается такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу. Простой шанс можно записать так:

L = {Y₁, Y₂: P}

Где Y₁ – выигрыш с вероятностью P; Y₂ – выигрыш с вероятностью 1-P, Y₁ > Y₂. Например, если из 10000 лотерейных билетов только один приносит выигрыш 500 тыс. руб., то такая лотерея представляет собой простой шанс вида L = {500, 0: 0,0001}.

На примере варианта 1 (таблица 3) рассмотрим алгоритм построения функции рисковой полезности, пользуясь опросом, проводимым методом простого шанса.

Таблица 3

Будущие доходы по акциям (руб.). Вариант задания 1

Вид акций	Будущие состояния экономики
	1-е	2-е	3-е	4-е	5-е
	P1=0,17	P2=0,21	P3=0,33	P4=0,1	P5=0,19
Акции 1-го вида	110	230	30	50	220
Акции 2-го вида	80	250	150	10	90

Сначала необходимо упорядочить все множество будущих доходов по возрастанию их объема, т.е. шкала полезности должна быть построена таким образом, чтобы на Y₁ она достигала минимального значения, а на Y_nm – максимального значения. При этом полагаем, что функция рисковой полезности U(Y₁) = 0 и U(Y_nm) =1. В нашем случае имеем

Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10
10	30	50	80	90	110	150	220	230	250

т.е. максимальное значение Y₁₀ = 250, минимальное Y₁ = 10. На основании сказанного предполагаем, что U(250) = 1, а U(10) = 0.

Далее необходимо провести опрос методом простого шанса и каждому значению будущего дохода поставить в соответствие некоторое значение вероятности, при которой этот доход будет эквивалентен условной простой лотереи. В нашем случае простую лотерея будет иметь вид L = {250, 10 : P}. Здесь величина P выбирается с таким расчетом, чтобы 0 < P < 1. Опрашиваемому инвестору предлагается сопоставить простую лотерею L со следующим по порядку после дохода Y₁ доходом Y₂ и определит свои предпочтения.

Принципиально возможны три варианта ответа:

опрашиваемое лицо предпочитает простой шанс:

{ Y_nm, Y₁ : P} > Y₂

опрашиваемое лицо предпочитает гарантированный доход

{ Y_nm, Y₁ : P} < Y₂

обе альтернативы эквивалентны

{ Y_nm, Y₁ : P} ~ Y₂

При этом считаем, что с увеличением вероятности большего выигрыша должен возрастать и гарантированный доход. Некторые оценки, полученные в результате такого опроса, приводятся ниже

{ 250, 10 : 0,09} > 30, { 250, 10 : 0,15} > 50

{ 250, 10 : 0,03} < 30, { 250, 10 : 0,11} < 50

{ 250, 10 : 0,06} ~ 30, { 250, 10 : 0,13} ~ 50

В качестве вероятности, соответствующей доходу Y = 30, выбираем P = 0,06, а в качестве вероятности, соответствующей доходу Y = 50, – P = 0,13. Аналогично находятся оценки вероятностей, соответствующие остальным значениям будущих доходов:

Yh …	10	30	50	80	90	110	150	220	230	250
Ph …	0,0	0,06	0,13	0,25	0,30	0,41	0,59	0,86	0,89	1,00

Полученные значения вероятностей можно рассматривать как оценки значений функции рисковой полезности на заданных будущих доходов, используя которые можно установить полезностные оценки каждой инвестиционной альтернативы по формуле

где Ф_i – полезностная оценка рискового проекта i, i = 1,2,…,n; P_j – субъективная вероятность наступления j-го состояния экономики.

Фактически речь идет замене значений доходов их полезностными оценками. Тогда могут быть проанализированы данные таблицы 4, что позволяет определить ожидаемую рисковую полезность акций каждого вида.

Таблица 4

Полезностные оценки будущих доходов

Вид акций	Будущие состояния экономики					Ожидаемая полезность акций
	1-е	2-е	3-е	4-е	5-е
	P1=0,17	P2=0,21	P3=0,33	P4=0,1	P5=0,19
Акции 1-го вида	0,41	0,89	0,06	0,13	0,86	0,452386
Акции 2-го вида	0,25	1,00	0,59	0,0	0,30	0,508469

В данном примере более предпочтительным по критерию максимизации функции рисковой полезности является приобретение акций 2-го вида.

Для определения отношения инвестора к риску и полезностной оценки значений будущих доходов по акциям, не совпадающих с приведенными в таблице 4 строится аналитическое выражение функции рисковой полезности. В данном примере кривая построена средствами Microsoft Excel, который позволяет определить функцию линии тренда (был взят степенной тип кривой; U(Y) = 0,0005Y^1,413) и величину достоверности аппроксимации (R² = 0,9927).

Рис. 1 Функция рисковой полезности

Определенные таким образом функции рисковой полезности могут быть использованы для оценки и обоснования рисковых инвестиционных альтернатив.