§6. Простейшие свойства вероятностей

Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы:

1. Р(А)  0 для любого наблюдаемого события А ;

2. Р( ) = 1 ;

3. Если события А и В несовместны (А · В = ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Из аксиом можно вывести следующие свойства:

1. Р() = 0 , откуда следует, что если А и В несовместны (А · В = ), то Р(А · В) = 0.

2. Р() = 1 Р(А).

3. Р(А) 1.

4. Если А  В (А влечет за собой В, т.е. все исходы, содержащиеся в А, содержатся и в В), то Р(А)  Р(В) .

5. Если А = B (т.е. А  В и В  А), то Р(А) = Р(В) .

6. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)  Р(А · В), формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В = ), то получим аксиому III.

§7. Условные вероятности. Независимость событий

Условная вероятность Р(В / А) = Р_A(В)  это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным, т.е. Р(А) > 0). Эту вероятность можно вычислить по формуле

Для краткости эта величина называется “вероятностью события В при условии А”. Заметим, что для величины Р(В / А) выполняются аксиомы I, II, III, и , следовательно, простейшие свойства (см. §6).

Обозначим через Х число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Пусть А = {Х – простое число}, В = {Х – четное число}. Тогда Р(А) = 3/6 = 1/2 (числа 2, 3, 5  простые, 1, 4, 6  нет), Р(В) = 3/6 = 1/2, Р(А · В) = 1/6 (простое и четное одновременно число только одно  это 2). Следовательно, Р(В / А) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало четное число очков при условии, что выпало простое число очков, равна 1/3 (среди 3 простых чисел четное одно); Р(А/В) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало простое число очков при условии, что выпало четное число очков, также равна 1/3 (среди 3 четных чисел простое  одно) .

События А и В называют независимыми, если

Р(А · В) = Р(А) · Р(В).

Если одно из событий невозможное ( ), то в обеих частях стоят нули. Если же Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).

Для последнего примера Р(А · В) Р(А) · Р(В) , значит, А и В зависимые.

Во многих задачах независимость событий задается по условию задачи (из общих соображений).

§8. Вероятность наступления хотя бы одного события

Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в §2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий:

Р() = 1 Р(А). (2)

Р(А · В) = Р(А) · Р(В / А) = Р(В) · Р(А / В) , если Р(А) > 0, Р(В) > 0 (формула умножения вероятностей); (3)

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)  Р(А · В)

(формула сложения вероятностей). (4)

Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p₁ = 0,8, p₂ = 0,6. Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А = {произойдет ровно одно попадание}.

Рассмотрим события А₁ = {первый стрелок попал в мишень} и А₂ = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда = {первый стрелок промахнулся}, a= {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Поэтому А = А₁ ·+ А₂ ·. Последние два события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна вероятности их суммы А. События А₁ и , а также А₂ и попарно независимы, т.е. вероятности произведений этих событий равны соответствующим произведениям вероятностей этих событий. Т.к. Р(А₁)=p₁=0,8, P(A₂)=p₂=0,6, то Р() = 1  p₁ = q₁ = 0,2, P() = 1 p₂ = q₂ = 0,4 и Р(А) = p₁q₂ + p₂q₁ = 0,44.

Вероятность наступления “хотя бы одного события” (т.е. суммы нескольких событий ) вычисляют по формуле

(5)

Если же эти события попарно независимы, то

Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя бы одно бракованное?

Пусть А  интересующее нас событие, А = A₁+ A₂+ A₃+ A₄ , где A₁ = {первое изделие бракованное}, A₂ = {второе изделие бракованное} и т.д. Так как A₁, A₂, A₃, A₄ независимы, то и события также независимы. Событие= {среди 4 изделий ни одного бракованного} =, где= {первое изделие не бракованное} и т. д. Так как Р(A₁) = Р (A₂) = Р (A₃) = Р(A₄) = 0,1 (=10%) , то Р() = (1 0,1)⁴ = 0,9⁴ = 0,6561. Значит, Р(А) = 1  Р() = 0,3439.

Если изделий не 4 , а 2 , то вероятность того, что из этих двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с помощью формулы (3), т.е. не переходя к противоположному событию:

P (A₁+A₂) = P (A₁) + P (A₂)  P (A) P (A₂) = 0,1 + 0,1  0,01 = 0,19.