- •Заочное обучение
- •Математика
- •Санкт-Петербург
- •Содержание
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности
- •§10. Формула байеса
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
- •§16. Дисперсия случайной величины
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
- •4. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •5. Контрольные задания № 1-№ 4
- •Контрольные задания № 5
- •6. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы
- •7. Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Приложение 5 Содержание дисциплины
- •Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 3.1.Случайные события, вероятность и основные теоремы
- •Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные теоремы
- •Тема 3.3.Основные предельные теоремы
- •Тема 3.4. Системы случайных величин
- •Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Образец оформления титульного листа
§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?
Каждому из шести исходов при броске первой кости соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй кости, значит, всего получится 36 элементарных исходов (1-1, 1-2, ..., 1-6, 2 - 1, ... , 6 - 6). Искомому событию благоприятствуют 6 исходов из 36 (1-1, 2-2, ... , 6-6), поэтому вероятность данного события А
.
2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?
Общее число элементарных исходов это число способов, которым можно вынуть 3 шара из 22. Оно равно числу сочетаний из 22 элементов по 3.
n =
(первый шар выбирается 22 способами, после того, как первый выбран, второй 21 способом, а для третьего после выбора первых двух остается 20 вариантов; однако каждый набор из трех шаров мы включили в общее число несколько раз, а именно 3·2·1=6, поэтому разных наборов из 3 шаров в 6 раз меньше, чем 22·21·20).
Общая формула для числа сочетаний из L по k приведена ниже.
Событие А, вероятность которого нужно подсчитать, состоит в том, что вынуты 2 черных и 1 белый шар. 2 черных шара из 12-ти можно извлечь
способами ( 1-й любой из 12-ти черных, 2-й любой из 11-ти оставшихся, но каждый набор из двух шаров учтен дважды, поэтому 12·11 делим пополам). 1 белый шар из 10-ти можно взять
способами. Таким образом, число благоприятствующих событию А способов равно
m =
(каждый из 66 наборов из 2 черных шаров и каждый из 10 белых шаров дают устраивающий нас вариант).
Итак,
.
Примечание. Общая формула для числа сочетаний из L по k
,
где .
(подробнее о комбинаторных схемах см. [ 3-4 ]).
3. Полный набор домино (28 костей) раздается между четырьмя игроками (по 7). Какова вероятность, что у третьего игрока нет “шестерок”?
Всего игрок может получить n = различных наборов из 7 костей, составленных из всех 28 костей домино, “шестерка” содержится на 7 “костяшках”, значит, без “шестерок” – 21 кость домино. Из них можно составить m =всевозможных “семерок” – наборов из 7 костей. Окончательно,
§5. О статистической и геометрической вероятностях
Относительная частота события А это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу проведенных испытаний: .
Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W(A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.
Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.
Бывают задачи, когда множества всех элементарных исходов и благоприятствующих исходов невозможно пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность события как отношение либо длин, либо площадей, либо объемов. Например, если считать, что попадания в круглую мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени, то вероятность попадания в центр (при условии попадания в мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей мишени:
В этом случае количество вариантов, благоприятствующих А, бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания бесконечно, т.е. формулы классической или статистической вероятности неприемлемы.
Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей, объемов, называют геометрической вероятностью.