- •Заочное обучение
- •Математика
- •Санкт-Петербург
- •Содержание
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности
- •§10. Формула байеса
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
- •§16. Дисперсия случайной величины
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
- •4. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •5. Контрольные задания № 1-№ 4
- •Контрольные задания № 5
- •6. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы
- •7. Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Приложение 5 Содержание дисциплины
- •Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 3.1.Случайные события, вероятность и основные теоремы
- •Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные теоремы
- •Тема 3.3.Основные предельные теоремы
- •Тема 3.4. Системы случайных величин
- •Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Образец оформления титульного листа
2. Методические указания к изучению дисциплины
Изучение дисциплины следует начать с теоретической части данных методических указаний. Поскольку методические указания не являются учебником и теоретический материал здесь изложен кратко, полезно обратиться к учебникам, перечисленным в списке литературы.
Для изучения дисциплины в общепринятом логическом порядке полезно сверяться с Приложением 5 данного издания.
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЙ № 1 - № 4
КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 1
§1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А1 - выпадение “шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А2 - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А3 - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом .
События и будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.
Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А4 - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А1 (выпала “шестерка”).
§2. Случайные события. Операции
Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А1 и А4 из §1 А1 + А4 = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.
Произведение событий А · В это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А4 = {выпала грань с 3 очками}.
Для несовместных событий А и В их произведение А·В= у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера §1 можно записать А1 ·А4 = .
Событие называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событиепроисходит, а событие А не происходит”).
Для операций над событиями выполняются свойства:
А + В = В + А |
А · В = В · А |
(А + В) + С = А + (В + С) |
(А · В) · С = А · (В · С) |
(А + В) · С = А · С + В · С |
Если события Н1, Н2, ..., Нn попарно несовместны (Нi·Hj=при i j ), а их сумма достоверное событие (H1+H2+...+Hn = ), то говорят, что {H1, H2, ..., Hn} полная группа несовместных событий или разбиение . В частности, {A,} полная группа несовместных событий для любого А.
§3. Классическое определение вероятности
Вероятность события А это число Р(А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.
В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие здесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты 4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также Р, О и Р, Р; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие для данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.
В общем случае, если число всех элементарных исходов N() равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А ( N(A) ), равно m, тогда вероятность
( 1 )
Это формула классической вероятности.
В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А1 включает в себя ровно 1 элементарный исход, А2 (достоверное) все 6, А3 (невозможное) 0, А4 3. Поэтому
, ,
,
Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому .
Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два ”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .