УМК Б ОГД 1 МатСтат 3 УЧПОС Воронов И.А
.pdf
Задача 2.3 [1]. Исследовалась динамика венозного давления ∆вд у 8 боль-
ных при эпидуриальной анестезии:
15, 20, 20, 25, 30, 30, 35, 55.
Выявить аномальность числа «55» в выборке для P ≤ 0,05
Критериальная статистика вычисляется по формуле
Dn |
(xn M ) |
|
SD |
||
|
В нашем случае D8 =(55-28,75)/11,66=2,25,
что больше табличного D8 =2,17 для P≤0,05
Вывод: «55» – аномально.
|
Xi |
d |
d2 |
1 |
15 |
-13,75 |
189,06 |
2 |
20 |
-8,75 |
76,56 |
3 |
20 |
-8,75 |
76,56 |
4 |
25 |
-3,75 |
14,06 |
5 |
30 |
1,25 |
1,56 |
6 |
30 |
1,25 |
1,56 |
7 |
35 |
6,25 |
39,06 |
8 |
55 |
26,25 |
689,06 |
|
M=28,75 |
|
SS=1087,50 |
|
|
|
δ2 =135,94 |
|
|
|
SD=11,66 |
|
|
|
D=2,25 |
|
P≤0,05 |
|
Dtab=2,17 |
Критические значения статистики Dn
Примечание: Распределение величины Dn получено Карлом Пирсоном (1857 – 1936) и Николаем Васильевичем Смирновым (1910 – 1966). В таблице приведены значения, рассчитанные Н.В. Смирновым и Ф. Граббсом в 1950 г.
21
Задача 2.4 [5]. Содержание Ca (мг%) в сыворотке крови клинически здоровых павианов гамадрилов.
13,6 |
12,9 |
12,3 |
9,9 |
12,7 |
11,7 |
10,8 |
10,4 |
10,9 |
10,2 |
14,7 |
10,4 |
11,6 |
11,7 |
12,1 |
10,9 |
12,1 |
9,2 |
10,7 |
11,5 |
13,1 |
10,9 |
12,0 |
11,1 |
13,5 |
11,2 |
13,5 |
10,1 |
14,0 |
10,0 |
11,6 |
12,4 |
11,9 |
11,4 |
12,8 |
11,4 |
10,9 |
12,7 |
13,8 |
13,2 |
11,9 |
10,8 |
11,0 |
12,6 |
10,0 |
10,3 |
12,7 |
11,7 |
12,1 |
13,8 |
12,2 |
11,9 |
11,6 |
10,6 |
11,1 |
10,7 |
12,3 |
11,5 |
11,2 |
11,5 |
12,7 |
10,5 |
11,2 |
11,9 |
9,7 |
13,0 |
9,6 |
12,5 |
11,6 |
9,0 |
11,5 |
12,3 |
12,6 |
12,6 |
12,8 |
12,5 |
12,8 |
11,4 |
12,5 |
12,3 |
14,5 |
12,3 |
12,8 |
11,7 |
12,2 |
12,3 |
11,6 |
12,0 |
13,5 |
12,5 |
11,6 |
11,9 |
12,0 |
11,4 |
14,7 |
11,3 |
13,2 |
14,3 |
13,2 |
14,2 |
Требуется: сгруппировать данные (n = 100) в вариационный ряд (упо-
рядоченные по возрастанию элементы выборки).
1. Устанавливаем величину классового интервала по формуле для выборки объемом 100 и менее единиц
|
|
|
|
|
i |
|
|
xmax |
|
xmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 3,32 lg n = 0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Строим таблицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Классы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по уровню Ca, |
8,6-9,3 |
|
|
9,4-10,1 |
|
10,2-10,9 |
|
11,0-11,7 |
|
11,8-12,5 |
|
12,6-13,3 |
|
13,4-14,1 |
|
14,2-14,9 |
|
|||||||||
мг% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Срединные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения |
9,0 |
|
|
9,8 |
|
10,6 |
|
11,4 |
|
|
|
12,2 |
|
13,0 |
|
13,8 |
|
14,6 |
|
|
||||||
классов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
2 |
|
|
6 |
|
|
15 |
|
|
23 |
|
|
|
25 |
|
|
17 |
|
|
7 |
|
|
5 |
|
100 |
|
Накопленная |
2 |
|
|
8 |
|
23 |
|
46 |
|
|
|
71 |
|
88 |
|
95 |
|
100 |
|
|
||||||
частота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. С помощью MS Excel построим графики:
а) Гистограмму распределения Ca в крови (абсцисса – границы классовых интервалов; ордината – частоты вариант);
б) Кумуляту (абсцисса – значения классовых вариант; ордината – кумулированные частоты).
22
МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ
Величины, отражающие все результаты измерений в распределении, называются центральной тенденцией. Тремя характеристиками центральной тенденции являются: среднее, медиана и мода. Среднее (M) – это среднее арифметическое, которое нахоится путем сложения всех результатов (Σxi ) и деления полученной суммы на количество результатов (n).
Медиана (Me) – это значение, расположенное в центре распределения и разделяющее все наблюдения на две половины. Мода (Mo) – это величина или категория, которая появляется наиболее часто. Среднее отклонение (более подробно см. ниже) вычисляют по следующей формуле:
|
|
M |
x |
1 |
|
|
xi |
Номер |
Возраст (xi) |
||||
|
|
|
|
|
|
X1 |
X4 |
||||||
|
|
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
17 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.5. Каков средний возраст женщин, участво- |
5 |
23 |
|||||||||||
|
7 |
18 |
|||||||||||
вавших в исследовании? |
Поскольку мы исключаем из |
||||||||||||
8 |
32 |
||||||||||||
этого анализа мужчин, то должны подсчитать только те |
|||||||||||||
9 |
22 |
||||||||||||
результаты в графе возраст, которым соответствует чи- |
|||||||||||||
10 |
20 |
||||||||||||
словое значение 2 в графе пол (номера в этом анализе не |
|||||||||||||
12 |
18 |
||||||||||||
нужны; они приведены в качестве справки) |
|||||||||||||
15 |
19 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
206 |
|
|||||||
|
M |
|
xi |
22,88 . |
п = 9 |
Σxi = 206 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ОЦЕНКА ИЗМЕНЧИВОСТИ
Стандартное отклонение (standard deviation – SD) – это один из наиболее час-
то используемых показателей того, насколько величины отличаются от среднего. Формула для вычисления стандартного отклонения:
SD |
|
1 |
|
(xi M )2 |
SS |
|
. |
n |
|
|
n 1 |
||||
|
|
1 |
|
||||
Задача 2.6. Каково стандартное отклонение для количества часов, отработанных в неделю мужчинами?
Выберите из графы отработанные часы данные по мужчинам (мужчинам в графе пол соответствует числовое значение 1).
Подсчитайте для этой группы среднее арифметическое М.
Вычислите отклонение D – отнимите среднее значение от количества часов, отработанных каждым человеком D=(xi – M),
Возведите в квадрат каждую из полученных величин D2=(xi – M)2. Вычислите сумму квадратов отклонений SS = ΣD2.
Подставьте эти величины в формулу SD.
23
X1 |
X7 |
|
|
Номер |
Отработанные часы (xi) |
D |
D2 |
1 |
38 |
12 |
144 |
2 |
15 |
–11 |
121 |
4 |
30 |
4 |
16 |
6 |
35 |
9 |
81 |
11 |
20 |
–6 |
36 |
13 |
30 |
4 |
16 |
14 |
30 |
4 |
16 |
16 |
10 |
–16 |
256 |
n = 8 |
Σxi = 208 |
|
SS = 686 |
M |
1 |
xi |
208 |
26 |
SD |
SS |
|
686 |
9,89 |
|
|
|
|
n 1 |
7 |
||||||
n |
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Помимо средней арифметической нередко требуется определить сред-
нее гармоническое, квадратическое, кубическое, а так же их средневзве-
шенные значения. В приведенных ниже примерах ознакомимся с ними.
Вычисление средней арифметической способом произведений или основным
|
Задача 2.7 [5]. Длина тела |
личинок |
|
Длина |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
личинок, |
|
|
D |
|
|
D |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
щелкуна (мм), отобранных случайным спо- |
|
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
собом в посеве озимой ржи, варьировала |
7 |
|
|
-5 |
|
28 |
|
|||||||
следующим образом: |
|
|
|
10 |
|
|
-2 |
|
5 |
|
||||
7, 10, 14, 12, 15, 16, 12. |
|
|
|
14 |
|
|
2 |
|
3 |
|
||||
Используя MS Excel, определить: |
|
|
12 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
Формулы: =СРЗНАЧ(А1:А7) |
|
|
15 |
|
|
3 |
|
7 |
|
|||||
|
=СУММ(B1:B7) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
4 |
|
14 |
|
||||
|
=B1^2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
0 |
|
0 |
|
||||
|
=КОРЕНЬ(C8/(7-1)) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M = 12 |
|
|
0 |
|
|
SS = 57 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) среднее арифметическое: |
M |
1 |
xi – простое = 12; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)дисперсию – dispersion или variance:
3)стандартное отклонение (среднеквадратическую ошибку) – standard deviation
2 |
|
|
SS |
2 |
|
SS |
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
или (если n<30) |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
SD |
SS |
|
или (если n<30) SD |
|
|
SS |
|
= 3,09. |
|||||
|
n |
|
|
n |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24
Задача 2.8 |
[5]. |
На |
8 |
10 |
6 |
10 |
8 |
5 |
11 |
7 |
|
10 |
6 |
9 |
7 |
8 |
7 |
9 |
11 |
||||
|
|
|
|||||||||
свиноферме |
зарегистри- |
8 |
9 |
10 |
8 |
7 |
8 |
8 |
11 |
||
рован опорос 64 свинома- |
7 |
10 |
8 |
8 |
5 |
11 |
8 |
10 |
|||
ток. От каждой свиномат- |
12 |
7 |
5 |
7 |
9 |
7 |
5 |
10 |
|||
ки получено |
следующее |
8 |
9 |
7 |
12 |
8 |
9 |
6 |
7 |
||
количество живых |
поро- |
8 |
7 |
11 |
8 |
6 |
7 |
9 |
10 |
||
сят: |
|
|
6 |
7 |
6 |
12 |
8 |
10 |
6 |
11 |
|
Используя MS Excel определить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) среднее арифметическое |
M p |
1 |
|
|
xi |
pi или M p |
|
xi |
pi |
= 8,25; |
|||||||||||||
(взвешенное (Σpi=n)): |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
pi |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
2) дисперсию (при учете весов): |
p |
|
|
|
|
|
( |
pi xi |
|
( |
pi xi ) |
|
) = 3,46; |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) стандартное отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SD |
|
|
|
|
p2 = 1,86. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Классы (xi) |
Частоты (pi) |
|
|
|
|
xipi |
|
xi2 |
|
|
|
|
|
pixi2 |
|
|
||||||
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
20 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|||
|
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
42 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
252 |
|
|||
|
7 |
|
13 |
|
|
|
|
|
91 |
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
637 |
|
|||
|
8 |
|
15 |
|
|
|
|
|
120 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
960 |
|
|||
|
9 |
|
7 |
|
|
|
|
|
63 |
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
567 |
|
|||
|
10 |
|
9 |
|
|
|
|
|
90 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
900 |
|
|||
|
11 |
|
6 |
|
|
|
|
|
66 |
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
726 |
|
|||
|
12 |
|
3 |
|
|
|
|
|
36 |
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
432 |
|
|||
|
|
n = Σpi = 64 |
Σxipi=528 |
|
|
|
|
|
Σpi xi2= 4574 |
||||||||||||||
|
|
Вычисление средней гармонической |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mh |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Средняя гармоническая простая: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xi
Задача 2.9 [5]. 5 доярок в течение 1 часа ручным способом надоили сле-
дующее количество молока: 10, 20, 25, 30, 20 – всего 105 л. Сколько времени затрачивает в среднем доярка на выдаивание 1 л молока?
М = 105/5 = 21 л. |
Мh =5 /(1/10 +1/20 +1/25 +1/30 +1/20) = 5 /0,273 = 18,31 л |
t= 60 / 21 = 2,86 мин. |
t = 60/18,31 = 3,23 мин. |
25
Средняя гармоническая взвешенная: |
Mh |
n |
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( |
pi |
) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|||
Задача 2.10 [5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность колосьев ржи = |
Длина колосьев |
|
8 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
||
(кол-во зерен в колосе) / |
Кол-во зерен в колосе |
36 |
|
|
38 |
40 |
41 |
42 |
|||
(длина колоса). Объем вы- |
Частота (n = 20) |
|
2 |
|
|
5 |
10 |
2 |
1 |
||
борки – 20 растений |
Плотность колосьев |
4,5 |
|
|
4,2 |
4,0 |
3,7 |
3,5 |
|||
Средняя плотность колосьев в выборке:
Мh= 20 / (2×1/4,5 + 5×1/4,2 + 10×1/4,0 + 2×1/3,7 + 1×1/3,5) = 20 / 5 = 4. Сравните: М = (2×4,5 + 5×4,2 + 10×4,0 + 2×3,7 + 1×3,5) / 20 = 81/20 = 4,1.
Вычисление средней квадратической
Применяется при выражении признаков мерами площади
|
|
|
xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p x2 |
||||||
Средняя квадратическая простая |
M q |
|
; взвешенная M q |
|
|
|
i |
i |
. |
||||||
n |
|||||||||||||||
|
|
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.11 [5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Измерялся – диаметр корзинок |
|
Диаметр корзинок (xi) |
8 |
11 |
13 |
15 |
16 |
17 |
|
||||||
подсолнуха в см., n = 10 |
|
Число случаев (pi) |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
1 |
|
|
||||
Средний размер признака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pi xi2 |
1×82+1×112 |
+2×132 +3×152 +2×162 |
+1×172 |
=1999. M q |
1999 |
||
|
|
||||||
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Сравните: М = (1×8 +1×11 +2×13 +3×15 +2×16 +1×17) / 10 = 139 /10 =
Вычисление средней кубической
Применяется при выражении признаков мерами объема.
14,1 см.
13,9 см.
|
|
x3 |
|
|
|
|
pi xi3 |
|
3 |
|
i |
|
|
M C |
3 |
|
|
Средняя кубическая простая M C |
n |
|
; взвешенная |
|
n |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.12 [5]. Измерялся диаметр
яиц в мм [полусумма большого и малого диаметров], n = 18 яиц
Средний размер признака
Диаметр яиц (xi) |
47 |
48 |
50 |
54 |
56 |
60 |
Число случаев (pi) |
2 |
4 |
6 |
3 |
2 |
1 |
pi xi3 |
2×473 + 4×483 + 6×503 + 3×543 + 2×563 + 1×603 = 24397; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M C |
3 |
|
24397 |
|
51 мм. |
|
|
|
18 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
26
Вычисление средней геометрической
Применяется при увеличении линейных размеров тела, прироста численности популяции за определенный промежуток времени
Средняя геометрическая |
|
M |
g |
n x x x ...x |
|
||||||
|
|
|
1 |
2 3 n |
|
||||||
обычно вычисляется с помощью десятичных логарифмов по формуле |
|
||||||||||
|
lg M g |
|
|
lg xi |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 2.13 [5]. |
|
Возраст |
|
Живая |
|
Абсолютные |
|
Логарифм |
|||
|
мышей |
|
масса, |
|
недельные |
|
прибавок |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Живая масса подопытных |
|
(неделя) |
|
г, |
xi |
|
прибавки массы, г |
|
массы |
||
мышей изменяется с возрас- |
|
1 |
|
|
|
10 |
|
|
- |
|
- |
том. Средняя геометриче- |
|
2 |
|
|
|
15 |
|
|
5 |
|
0,69897 |
ская недельных абсолютных |
|
3 |
|
|
|
20 |
|
|
5 |
|
0,69897 |
прибавок массы мышей за |
|
4 |
|
|
|
27 |
|
|
7 |
|
0,84510 |
первые 9 недель их жизни |
|
5 |
|
|
|
35 |
|
|
8 |
|
0,90309 |
lgМg =7,58895/8 =0,94861, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
|
|
46 |
|
|
11 |
|
1,04139 |
|
Мg = 8,9 г. |
|
7 |
|
|
|
58 |
|
|
12 |
|
1,07918 |
|
8 |
|
|
|
72 |
|
|
14 |
|
1,14613 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравните: М =77/9 = 9,6 г. |
|
9 |
|
|
|
87 |
|
|
15 |
|
1,17609 |
|
Сумма |
|
|
|
|
|
77 |
|
7,58892 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если признак варьируется не- |
Возраст |
Живая |
|
Относительные |
Логарифм |
|||||
прерывно и выборка группиру- |
мышей |
масса, |
|
недельные при- |
прибавок |
|||||
ется в интервальный вариаци- |
(неделя) |
г, xi |
|
бавки массы, г, |
массы |
|||||
онный ряд, то |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
lgQ |
|
|
|
lg Qi |
|
1 |
10 |
|
|
- |
- |
|
lg M g |
|
, |
2 |
15 |
|
|
1,50 |
0,17609 |
||
|
|
|
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
20 |
|
|
1,33 |
0,12385 |
||
где Qi =x2 / x1 |
|
|
|
4 |
27 |
|
|
1,35 |
0,13033 |
|
lgМg = 0,93806 / 8 = 0,1173, |
5 |
35 |
|
|
1,30 |
0,11394 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Мg = 1,310 г. |
|
6 |
46 |
|
|
1,31 |
0,11727 |
|||
|
7 |
58 |
|
|
1,26 |
0,10037 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Сравните: Мi |
=10,50/8 =1,313 г. |
8 |
72 |
|
|
1,24 |
0,09342 |
|||
9 |
87 |
|
|
1,21 |
0,08279 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
10,50 |
0,93806 |
|
Используют также следующую формулу: lg M g |
|
lg xn |
lg x0 |
. |
|
|||||
|
n |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27
Задача 2.14 [5]. Селекция гибридного хлопчатника за 5 лет позволила уве-
личить длину волокна с 26,3 мм до 31,0 мм. Определить среднегодовой эффект.
lg M g |
lg xn |
lg x0 |
lg31,0 |
lg 26,3 |
0,07140 |
0,01785. |
|
||||||||
n |
1 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Мg = 0,1044мм → 10,44% → |
Среднегодовой эффект: 10,44/5 = 2,1%. |
|
|||||||||||||
Вычисление коэффициента вариации: |
V |
SD |
100% . |
|
|||||||||||
M |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.15 [5]. На кролиководческой |
3,0 |
2,7 |
2,1 |
|
1,6 |
1,2 |
1,6 |
2,2 |
|||||||
2,1 |
2,3 |
1,5 |
|
1,1 |
2,2 |
2,5 |
2,4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ферме взвешивание 35 животных показа- |
1,9 |
2,1 |
2,3 |
|
1,3 |
1,0 |
1,8 |
1,9 |
|||||||
ло следующий результат: |
|
|
1,8 |
3,2 |
2,1 |
|
2,9 |
3,0 |
1,3 |
1,9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2,6 |
1,5 |
2,4 |
|
2,7 |
1,9 |
2,0 |
2,6 |
||
Сравнить V двух выборок – 35 кроликов и 64 поросят (см. задачу 2.8). |
|
||||||||||||||
|
Vкроликов = 27,3%, |
|
Vпоросят = 22,5%. |
|
|
|
|||||||||
Определение медианы
Медиана (Me) – средняя, относительно которой ряд распределения делится на 2 половины (в обе стороны от медианы) одинаковое количество вариант.
n
Me xMe i 2pMeps ,
где: XMe – нижняя граница интервала, в котором находится Ме или полусумма соседних классовых вариант; i – величина классового интервала; n – объем выборки; ps – число накопленных частот, стоящее перед медианным классом; pMe – частота медианного класса.
Задача 2.16 |
[5]. (см. Задачу 2.4) Вычислить |
Ме ряда |
распределения Са |
||
(мг%) в сыворотке крови павианов гамадрилов |
|
|
|
||
Классы по содержанию |
Срединные значения |
Частоты |
|
Накопленные |
|
Са в сыворотке крови |
классов |
(pi) |
|
частоты (ps) |
|
8,6 |
– 9,3 |
9,0 |
2 |
|
2 |
9,4 |
– 10,1 |
9,8 |
6 |
|
8 |
10,2 |
– 10,9 |
10,6 |
15 |
|
23 |
11,0 |
– 11,7 |
11,4 |
23 |
|
46 |
11,8 |
– 12,5 |
12,2 |
25 |
|
71 |
12,6 |
– 13,3 |
13,0 |
17 |
|
|
13,4 |
– 14,1 |
13,8 |
7 |
|
|
14,2 |
– 14,9 |
14,6 |
5 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
28
Вариант 1. i = 0,8. Величина n/2= 50 находится между ps = 46 и ps = 71. Границы интервала для (ps = 71) – 11,8 ÷ 12,5 т. е. pMe = 25.
По формуле: Ме = 11,8 + 0,8 (50 – 46) / 25 = 11,93. Вариант 2. По формуле: Ме = (11,4 + 12,2) / 2 + 0,8 (50 – 46)/25 = 11,93.
Задача 2.17 [5] (см. задачу 2.6). Вычислить Ме ряда распределения числен-
ности поросят. |
|
|
||||
Классы (xi) |
|
Частоты (pi) |
Накопленные частоты |
Величина n/2= 32 находится |
||
5 |
|
4 |
|
4 |
между |
|
6 |
|
7 |
|
11 |
ps = 24 и ps = 39. |
|
7 |
|
13 |
|
24 |
|
|
8 |
|
|
15 |
|
39 |
То xMe = (7+8)/2 = 7,5; |
9 |
|
7 |
|
|
pMe = 15. |
|
10 |
|
9 |
|
|
|
|
11 |
|
6 |
|
|
По формуле: |
|
|
|
|
Ме = 7,5 + 1 (32 – 24)/15 = |
|||
12 |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
7,5 + 0,53 = 8,03. |
|||
|
|
|
Σpi= 64 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Определение моды
Мода (Mo) – наиболее часто встречающаяся, в данной выборке, величина. Класс с наибольшей частотой называется модальным.
Mo xниж |
i |
p2 |
p1 |
, |
|
2 p2 |
p1 p3 |
||||
|
|
|
где: Xниж – нижняя граница модального класса; i – величина классового интервала; p1 – частота класса, предшествующего модальному; p2 – частота модального класса; p3 – частота класса, следующего за модальным.
Задача 2.18 [5]
(см. задачу 2.4). Вычислить (используя MS Excel) Мо ряда распределения Са (мг%) в сыворотке крови павианов гамадрилов.
i = 0,8.
По формуле
Мо = 11,8 +0,8 (25-23) / (2×25-23-17) = 11,8+0,16 =
11,96.
Классы по |
Срединные |
Час- |
Накоп- |
|
содержанию Са |
значения |
тоты |
ленные |
|
в сыворотке |
классов |
(pi) |
частоты |
|
крови |
|
|
(ps) |
|
8,6 |
– 9,3 |
9,0 |
2 |
2 |
9,4 |
– 10,1 |
9,8 |
6 |
8 |
10,2 |
– 10,9 |
10,6 |
15 |
23 |
11,0 |
– 11,7 |
11,4 |
23 |
46 |
11,8 |
– 12,5 |
12,2 |
25 |
71 |
12,6 |
– 13,3 |
13,0 |
17 |
|
13,4 |
– 14,1 |
13,8 |
7 |
|
14,2 |
– 14,9 |
14,6 |
5 |
|
|
|
|
100 |
|
29
Хи-квадрат
Хи-квадрат (χ2) – это непараметрический статистический показатель, используемый для определения того, отличается ли наблюдаемая частота результатов от ожидаемой частоты. Поскольку для подсчета χ2 необходимы частоты, можно использовать как количественные, так и качественные переменные. Формула для χ2, где О соответствует наблюдаемой (эмпирической) частоте, а Е
– ожидаемой (теоретической):
2 |
(O E)2 |
. |
|
|
|
|
E |
|
Степени свободы df для χ2, где R – число строк, а С – число столбцов в таблице распределения частот, находят с помощью формулы df (R 1)(C 1) .
Задача 2.19 [9]. Наблюдается ли различие между уровнем знаний женщин
и мужчин? При вычислении χ2 желательно пользоваться таблицами распределения частот, помогающими упорядочить О и Е частоты. В таблице распределения эмпирических частот подсчитываются суммы по столбцам, по строкам и общая сумма n. Чтобы подсчитать значение для каждой клетки в таблице распределения теоретических частот, умножьте сумму всей строки на сумму столбца и разделите полученный результат на общую сумму n. Затем эти величины О и Е используются в формуле для вычисления критерия хи-квадрат
Таблица распределения эмпирических частот (O)
Пол |
Низкий |
|
|
Высокий |
|
|
Итого |
||
Женщины |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
Мужчины |
2 |
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
Итого |
8 |
|
|
9 |
|
|
|
п = 17 |
|
|
|
Таблица распределения теоретических частот (E) |
|
||||||
Пол |
Низкий |
|
|
Высокий |
|
|
Итого |
||
Женщины |
(9×8)/17 = 4,24 |
|
(9×9)/17 = 4,76 |
|
|
9 |
|||
Мужчины |
(8×8)/17 = 3,76 |
|
(8×9)/17 = 4,24 |
|
|
8 |
|||
Итого |
8 |
|
|
9 |
|
|
|
п = 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
категория |
|
Уровень знаний |
O |
Е |
(O – Е) |
|
(O – Е)2 |
(O – Е)2/Е |
|
Женщины |
|
НИЗКИЙ |
6 |
4,24 |
1,76 |
|
3,11 |
0,74 |
|
2 |
|
ВЫСОКИЙ |
3 |
4,76 |
– 1,76 |
|
3,11 |
0,65 |
|
Мужчины |
|
НИЗКИЙ |
2 |
3,76 |
– 1,76 |
|
3,11 |
0,83 |
|
1 |
|
ВЫСОКИЙ |
6 |
4,24 |
1,76 |
|
3,11 |
0,74 |
|
2 |
(O E)2 |
|
|
|
2,95. |
|
|
|
|
E |
|
В нашем примере R = 2 и С = 2; таким образом, df = 1. Чтобы определить, превышает ли полученная нами величина χ2 (2,95) желаемое критическое значение, мы обращаемся к табл. П 3.З. Критическое значение при df = 1 и уровне значимости 0,05 равно 3,84. Полученная нами величина 2,94 меньше этого критического значения; следовательно, между мужчинами и женщинами отсутствует статистически значимое различие в уровне знаний.
30