2.КОРРЕЛЯЦИЯ, ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

2.1.ОЦЕНКА ТЕСНОТЫ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

Экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Одной из основных задач в экономических исследованиях является анализ зависимостей между переменными.

Выделим два типа связей:

Функциональные – характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками.

Пример Величина заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов

Корреляционные – между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных.

Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значении результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно,

зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:

По направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативною признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака-фактора.

По форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная – кривой (параболой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака.

По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции.

Ковариация – это статистическая мера взаимодействия двух переменных.

Пример Положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Ковариация между двумя переменными и рассчитываетсяследующим образом:

,

Если случайные величины Х и Y независимы, теоретическая ковариация равна нулю. Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Х и Y она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Коэффициент парной корреляции

(2.2)

Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле

(2.3)

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) или стандартная ошибка

(2.4)

Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, например,

шкала Чеддока

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции

t-критерий Стьюдента

(2.5)

Матрица коэффициентов парной корреляции

Таблица 2.1

(2.6)

Множественный коэффициент корреляции

(2.7)

Проверка значимости коэффициента детерминации

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения F-критерия Фишера

(2.8)

с табличным Fтабл.

Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости α и степенями свободы v1 = m и v2 = n – m – 1. Коэффициент R2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Частный коэффициент корреляции

Выборочный частный коэффициент корреляции

(2.9)

Выражение (2.9) при условии m = 3 будет иметь вид

(2.10)

Пример 2.1. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции.

В табл. 2.2 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

(Таблица 2.2)

1.Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».

2.Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).

3.Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.

4.Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.

5.Найти оценку множественного коэффициента корреляции.

6.Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

Решение

1. Диаграмма рассеяния имеет вид

Рис. 2.1

2. Промежуточные расчеты приведены в табл. 2.3