Раздел 1: Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Введение

Основные этапы развития математики и структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический подход.

Тема 1. Определители и матрицы

Матрицы, операции над матрицами. Определители и их свойства. Ранг матрицы, обратная матрица.

Практическое занятие 1:

Действия над матрицами.

Практическое занятие 2:

Вычисление определителей.

Практическое занятие 3:

Нахождение обратной матрицы, ранга матрицы.

Тема 2.Системы линейных алгебраических уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных алгебраических уравнений, их решение по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Практическое занятие 1:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Практическое занятие 2:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 3:

Контрольная работа №1. Действия над матрицами, вычисления определителей, решение систем линейных уравнений.

Тема 3.Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Скалярный и векторные величины. Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Векторный анализ и элементы теории поля. Простейшие задачи аналитической геометрии. Системы координат на плоскости. Преобразование координат. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Практическое занятие 1:

Решение простейших задач аналитической геометрии: нахождение расстояния между точками, деление отрезка в заданном отношении.

Практическое занятие 2:

Решение задач векторной алгебры: линейные операции над векторами, скалярное произведение векторов, нахождение углов, условие ортогональности векторов.

Практическое занятие 3:

Решение задач векторной алгебры: векторное и смешанное произведение векторов, нахождение площадей и объемов, условия коллинеарности и компланарности векторов.

Практическое занятие 4:

Прямая на плоскости: использование различных видов ее уравнений, нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости, нахождение угла между прямыми на плоскости.

Практическое занятие 5:

Плоскость в пространстве: использование различных видов ее уравнений, нахождение расстояния от точки до плоскости.

Практическое занятие 6:

Прямая в пространстве: общие, канонические и параметрические уравнения. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве. Выдача расчетно-графической работы (РГР) №1.

Практическое занятие 7:

Контрольная работа №2: решение задач векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тема 4.Элементы линейной алгебры

Понятие линейного (векторного) пространства. Базис и размерность. Евклидово пространство. Переход к новому базису. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Линейные и квадратичные формы. Линейная модель обмена.

Практическое занятие 1:

Переход к новому базису. Разложение вектора по базису.

Практическое занятие 2:

Процесс ортогонализации векторов.

Практическое занятие 3:

Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Практическое занятие 4:

Контрольная работа №3: ортогонализация векторов, нахождение собственных чисел и собственных векторов линейных операторов.

Практическое занятие 5:

Квадратичные формы.