Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шпоры

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2015

Размер:

508.93 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1. Системы линейных уравнений.

x₁, x₂, …, x_n

а₁x₁ +а₂x₂ +…+а_n x_n= b

k₁, k₂, …, k_n x₁= k₁, x₂= k₂,…, x_n = k_n

Матрица системы столбец правых частей

размер m x n размер m x 1

Расширенная матрица системы размер m x (n+1)

Элементарные преобразования строк матрицы:

смена местами двух строк
умножение элементов строки на число
прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки

Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную.

Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.

2. Метод Гаусса. Метод Жордана.

п р я м о й х о д

о б р а т н ы й х о д

Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.

b	x₁	x₂	x₃	Решение системы методом Жордана ( Жордана-Гаусса )
-1	1	1	2	а₁₁=1 – ключевой элемент: х₁исключается с помощью 1-го уравнения
4	1	-2	-2	из 2-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1
-2	1	4	4	из 3-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1
-1	1	1	2	ключевая строка делится на ключевой элемент
5	0	-3	-4	а₂₂= -3 – ключевой элемент: х₂исключается с помощью 2-го уравнения
-1	0	3	2
2/3	1	0	2/3	из 1-й строки вычли измененную 2-ю (деленную на -3)
-5/3	0	1	4/3	ключевая строка делится на ключевой элемент (на -3)
4	0	0	-2	из 3-й строки вычли измененную 2-ю, умноженную на 3
2	1	0	0	из 1-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 2/3
1	0	1	0	из 2-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 4/3
-2	0	0	1	ключевая строка делится на ключевой элемент (на -2)

несовместная имеет множество решений

3 Действия над матрицами.

Сложение матриц

С=А+В, когда c_ij= a_ij + b_ij. Матрицы одного размера.

A+B=B+A, , , (A+B)+C=A+(B+C)

Умножение матрицы на число

В=k^.А, когда b_ij= k^.a_ij Получается матрица того же размера.

(km)A=k(mA), 1^.A=A, 0^.A=. (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB

Умножение матрицы на матрицу.

Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.

А ^. В = С

mxn nxp mxp скалярное произведение

Свойства. 1. (АВ)С=А(ВС) 2. E_m, E_n: E_m.A = A, A . E_n = A (единичные)

3. 4. Если , то не обязательно или

5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС

к(АВ)=(кА)В=А(кВ)

Транспонирование матриц – смена местами строк и столбцов.Свойства. 1. (А^Т)^Т=А 2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т 3. (кА)^Т=кА^Т 4. (А^.В)^Т=В^Т.А^Т

4 Обратная матрица.

А^.В=В^.А

Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А^.В = Е, С^.А = Е. Тогда В = С.

В = Е^.В = (С^.А)^.В = С^.(А^.В) = С^.Е = С

Обратная матрица единственна и обозначается А^-1 А^.А^-1= А^-1
.А = Е

Матричная запись системы

А^.Х = В

Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А^-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях ( любом векторе В ) Х=А^-1
.В

Опр. Если , то система называется однородной.

Свойство. Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение .

Х₁	Х₂	У₁	У₂	Нахождение А^-1 методом Жордана-Гаусса
2	5	1	0
1	3	0	1
1	3	0	1
0	1	1	2
1	0	3	5
0	1	1	2

5.балансовая модель - валовая продукция, - конечная продукция, - внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно: z₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a₁_nx_n и т.д.

Система уравнений материального баланса имеет вид

Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева

- затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.

( Е – А )Х = У Продуктивная матрица:

Х = ( Е – А )^-1У = SУ, S – матрица полных затрат

6. Свойства определителей.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Для матрицы 1-го порядка определитель

Система сводится к

Для матрицы 3-го порядка определитель =

= а₁₁^.а₂₂^.а₃₃ + а₁₂^.а₂₃^.а₃₁ + а₁₃^.а₂₁^.а₃₂ – а₁₃^.а₂₂^.а₃₁ – а₁₂^.а₂₁^.а₃₃ – а₁₁^.а₂₃^.а₃₂

Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определител.называется минором. - минор, получающийся вычеркиванием i–й строки

j–го столбца квадратной матрицы разложение определителя по 1-й строке.Алгебраическое дополнение ( квадратной матрицы )

detA = a₁₁^.A₁₁ + a₁₂^.A₁₂ + …+ a₁_n^.A₁_n

Свойства. 1. Независимость строк и столбцов

det ( a₁ a₂ …a_i¹ + a_i² … a_n ) = det ( a₁ a₂ …a_i¹ … a_n ) + det ( a₁ a₂ … a_i² … a_n )
det ( a₁ a₂ …c^.a_i … a_n ) = c^.det ( a₁ a₂ …a_i … a_n )
det ( a₁ a₂ …a_i …a_j … a_n ) =  det ( a₁ a₂ …a_j … a_i … a_n ) - антисимметричность

Следствия. 1. Если два столбца ( строки ) определителя совпадают, то он равен нулю.

Если два столбца ( строки ) определителя пропорциональны, то он равен нулю.
Определитель не меняется, если к элементам одного столбца ( строки ) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца ( строки ).

Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего ( на 1 ) порядка.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.

7. Формулы Крамера.

Теорема 1.

Теорема 2.

Присоединенная (взаимная, союзная) матрица – из алгебраических дополнений транспонированная:

a₁₁^.A₁₁+a₁₂^.A₁₂+ …+a_1n^.A_1n = , a₂₁^.A₁₁+ a₂₂^.A₁₂+ …+ a₂_n^.A₁_n = = 0

Если , то , отсюда - формула вычисления А^¹, подставляем в формулу из §5 Х=А^^1
.В=

=b₁A₁₁ +b₂A₂₁+… b_nA_n1= =b₁A₁₂+b₂A₂₂+…+b_nA_n2 =

и т.д. – это числа из предыдущей матрицы.

, то есть , , …,  это и есть формулы Крамера.

8. Множества. Логическая символика.

аА аА  АВ аА  аВ А = В, если АВ и ВА

1) А = а₁,а₂,…а_к  перечисление элементов 2) А = хТ(х) с помощью свойства (формулы)

АВ = ххА или хВ АВ = ххА и хВ А \ В = ххА, хВ

,  утверждения.  отрицание.   импликация.   эквивалентность.

  конъюнкция.   дизъюнкция. хХ х   квантор всеобщности

хХ х   квантор существования хХ х

Операции над множествами

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .

Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В . Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В .

Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А. Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество: