Уравнение Лапласа

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как 

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнениеЛапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

. Уравнение колебаний струны

1.1. Уравнение малых поперечных колебаний

Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.  Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения точки xв момент времени t. Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения  перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t) (смотри рисунок) .

Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.

- уравнение колебаний струны.

а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.

Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны:

1.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)   - уравнение колебаний струны. (1) Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия:     (2) где-функция, задающая форму струны в начальный момент времени, -скорость точки струны в начальный момент. Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных: , где ,-некоторая функция только переменной η, то естьне зависит от.   Интегрируя это равенство по η при фиксированном ξ, получим: . Вернемся к старой переменной: . (3) - описывает волну, бегущую направо.  Например, функция f имеет вид x-at=0, следовательно x=at, то есть “горб” движется направо со скоростью а. - описывает волну, бегущую налево.x+at=0, следовательно x=-at, то есть “горб” движется налево со скоростью а. Функция (3) является общим интегралом уравнения (1). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям (2): . (4) (5) Интегрируя (5), получим: , где С=const. (6) Из равенств (4) и (6) находим . (7) (8) Выражения (7), (8) подставляем в (3). .