Учебное пособие по начертательной геометрии
.pdf
Проекции сечение могут изображаться: а) отрезком прямой и окружностью при сечении сферы плоскостями уровня (рис.66а); эллипсом и прямой сечении проецирующими плоскостями (рис.66б).
На рисунке 67 выполнено построение проекций сечения сферы горизонтальной плоскостью λ.
На рисунке 68 выполнено построение проекций сечения сферы фронтально проецирующей плоскостью Σ.
Рисунок 67-Построение сечения горизонтальной плоскостью λ.
81
Рисунок 68-Построение сечения фронтально проецирующей плоскостью Σ.
8.5 Построение линии пересечения двух поверхностей
Для решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей общего положения в качестве вспомогательной поверхности (посредник), следует выбирать такие, которые пересекали бы заданные по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям.
В качестве вспомогательных поверхностей (посредников) наиболее часто используются секущие плоскости и сферические поверхности.
Прежде чем решить вопрос, какие вспомогательные поверхности следует выбрать необходимо, выяснить, не занимает ли одна из пересекающихся поверхностей проецирующее положение, т.к. в данном случае решение поставленной задачи значительно упрощается. Это происходит из-за того, что одна из проекций линии пересечения будет совпадать с главной проекцией проецирующей поверхности. Поэтому решение сводится к определению недостающей проекции линии, принадлежащей заданным поверхностям из условия принадлежности.
Пример решение задач:
82
Задача. Построить линию пересечения пирамиды и призмы (рисунок 69)
1.Заданы многогранники. Все ребра призмы пересекают грани пирамиды. Имеем случай проницания. Призма занимает профильно-проецирующее положение.
2.Так как призма перпендикулярна П3, то профильная проекция линии пересечения заданных многогранников совпадает с профильной проекцией призмы.
3.Линия пересечения распалась на две замкнутые ломаные линии: пространственную 1-6-8-9-4-3-1 и плоскую 2-5-10-7-2. Фронтальная и горизонтальная проекция линии пересечения построена из условия принадлежности пирамиды.
4.Отрезки прямых соединены с учетом видимости. Видимыми считаются те участки ломаной, которые являются линией пересечения двух видимых граней многогранника и наоборот.
83
Рисунок 69 – Пересечение пирамиды и призмы
Задача. Построить проекции линии пересечения конуса и треугольной призмы (рисунок 70).
1.Линия состоит из совокупности дуги окружности, части гиперболы
ичасти эллипса.
2.Так как призма фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией призмы.
3. Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения построены из условия принадлежности конусу.
84
Рисунок 70 – Пересечение конуса и призмы
Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра (рисунок 71)
1.Заданы кривые поверхности. Случай врезки. Цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение
2.Линия пересечения – пространственная замкнутая кривая
3.Так как цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение, то фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей совпадает с
85
фронтальной проекцией цилиндра, а горизонтальная проекция строится по принадлежности конусу.
Рисунок 71 – Пересечение конуса и цилиндра
4. Опорные точки: А, С, С′ – экстремальные. А – высшая точка, С, С′ -
низшие, D, D′ – очерковые (точки смены видимости на П1). Точки 1, 1′ и 2, 2′ –
очерковые относительно П3. Точки 3, 3′ – точки касания образующих конуса и цилиндра. Остальные точки – промежуточные.
86
5. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим горизонтальную проекцию линии перемещения заданных поверхностей.
8.6 Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей
Задача. Построить линию пересечения полусферы Р и пирамиды Q (рисунок 72)
Рисунок 72 – Пересечение пирамиды и сферы
87
1. Задача решается при помощи посредников. За посредники выбираем горизонтальные плоскости уровня. Они пересекают Р по параллелям,
аQ по треугольникам – графически простым линиям.
2.Определяем опорные точки на линии пересечения m. Находим точки пересечения ребер пирамиды с полусферой: M1, F1 и Е1. Точку М=SB∩P
находим с помощью плоскости Σ(Σ1) – плоскости главного меридиана полусферы Р. Точки Е и F получаются в результате пересечения ребер AS и SC
и полусферой Р, найдены точки с помощью плоскости ( 2) – плоскость экватора полусферы. Точки М, Е, F являются экстремальными точками, а так же очерковыми на П2, точки Е и F очерковыми на П1, и они же точки смены видимости на П1.
3. Случайные точки определяем с помощью плоскостей уровня λ(λ2) и
Г(Г2); λ∩P=n(n2,n1) - параллель полусферы λ∩Q=l(l2,l1) – треугольник DTS; n∩L=точки 1 и 2. Аналогично с помощью плоскости Г(Г2) находятся точки 3 и
4.
4.Соединяем найденные точки линии m с учетом видимости.
5.Определяем взаимную видимость Р и Q.
8.7 Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных концентрических сфер
Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии.
88
Рисунок 73 – Пересечение сферы с поверхностями вращения
На рисунке 73 показана фронтальная проекция линий пересечения сферой радиуса R с поверхностями вращения – конусом, тором, цилиндром, сферой, оси которых проходят через центр сферы. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируется на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер, но при следующих условиях:
1.Обе поверхности – поверхности вращения
2.Оси поверхностей пересекаются в точке (центр вспомогательных сфер)
3.Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии) должна быть параллельна плоскости проекции.
Задача. Построить проекции линии пересечения поверхностей цилиндра
(Г) и конуса (ψ) (рисунок 74).
89
1. Заданы две поверхности вращения. Оси поверхностей пересекаются.
Имеется общая плоскость симметрии λ, параллельная П2.
2.Линия пересечения – пространственная замкнутая кривая 1-4-3-5-2-5′- 3′-4′-1 (рисунок 74).
3.Опорные точки: 1, 2 – экстремальные; точки 3 и 3′ – очерковые относительно П1.
Рисунок 74 – Пересечение цилиндра и конуса
4. Промежуточные точки: 4, 4′,5, 5′ найдены с помощью вспомогательной сферы ( ) с центром в точке О, соосной с заданными поверхностями.
5. Найденные точки соединены плавной кривой с учетом видимости.
90