Учебное пособие по начертательной геометрии

Последнее, что необходимо сделать, это определить видимость в видимом контуре цилиндра и пирамиды. На П2 не видимыми в контуре пирамиды являются часть ребер SA и SB между точками 1, 3 и 2, 4. На П1 весь очерк цилиндра видим, кроме части между точками 5 и 6. Часть основания пирамиды невидима, т.к. находится ниже цилиндра. Невидимы также части ребер SA и SB, начиная от точек 3 и 4 и до очерка цилиндра. Напомним, что работа выполняется на формате А3 по действительным размерам в масштабе 1:1. Чертеж выполняется в двух проекциях, за исключением тех вариантов, где указано выполнить работу в трех проекциях.

4 Рекомендации к выполнению контрольной работы №4

Содержание контрольной работы №4: способом вспомогательных концентрических сфер построить линию взаимного пересечения поверхностей двух тел вращения (таблица 4). Определить видимость (образец выполнения задачи рисунок 7).

Рассмотрим применение этого способа на примере (рисунок 7).

Даны две фигуры вращения: конус и закрытый тор. Фигуры имеют одну общую плоскость симметрии λ(λ1), которая является фронтальной плоскостью уровня (т.е. П1, || П2). Оси симметрии, вокруг которых происходит вращение образующих линий фигур, пересекаются в точке О (О2) под углом 90° . Таким образом, на лицо все признаки применения способа концентрических сфер.

122

В данном примере общая плоскость симметрии λ(λ1) П2. Поэтому высшие и низшие точки линии пересечения 1;3 и 2;4 получаются непосредственно в пересечении очерковых образующих. Все четыре точки легко определить на фронтальной плоскости проекций.

Все остальные точки линии пересечения находим с помощью вспомогательных сфер, которые будем проводить из точки О (О2) - точки пересечения осей конуса и цилиндра. Причем, при нахождении точек пересечения следует помнить, что в данном случае мы имеем дело с проницанием, а это значит, что линий пересечения получится две, и так как фигуры расположены симметрично относительно друг друга, линии пересечения должны получиться также симметричными. Сферой наименьшего радиуса является сфера, вписанная в поверхность одного из пересекающихся тел. С поверхностью другого тела такая сфера должна пересекаться. В данном примере такая сфера вписывается в конус и пересекается с тором. Для того, чтобы определить радиус этой сферы, из точки О(О1) на очерковую образующую линию опущен перпендикуляр. Эта сфера является соосной с поверхностью обоих тел, и потому она касается поверхности конуса и пересекается с поверхностью тора по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых линий. Так как эти окружности принадлежат одной сфере, то они пересекаются в двух парах точек 5(52), 5'(52') и 6(62), 6' (62'), которые являются общими между поверхностями конуса и тора, а следовательно, располагаются на линии пересечения. Произвольные точки 7(72), 7'(72') и 8(82), 8'(82') определяем аналогично, с помощью концентрической сферы, радиус которой принимается произвольно несколько большим по сравнению с радиусом вписанной сферы.

Полученные точки соединяем в плавную кривую линию: сначала соединяем точки 12→52=52'→72=72'→22, затем еще раз, стараясь, чтобы вторая кривая получилась симметрично первой, соединяем точки

32→62=62'→82=82'→42. Так как ось симметрии тора расположена || П1 и выше основания конуса, то плоскость этой оси для П1 будет являться плоскостью

124

смены видимости. Линии пересечения, пройдя через эту плоскость, на П1 сменят видимость. Поэтому на оси симметрии необходимо отметить точки пересечения ее с линиями пересечения. Эти точки будут являться точками смены видимости (92=92' и 102=102')

Все полученные точки строятся на П1 по принадлежности конусу. Для построения их на П1 и соединяя их в линии, следует не забывать о смене видимости. Итак, левая линия - видимая часть 91→51→11→51'→91', невидимая - 91→71→21→71'→91'. Правая линия симметрична левой - видимая часть 101→61→31→61'→101' и невидимая часть 101→81→41→81'→101'. При решении задач способом концентрических сфер следует не забывать, что существуют особые случаи пересечения тел вращения (три теоремы).

6 Рекомендации по построению разверток

В задачах №3 и №4 одна из поверхностей помечена звездочкой. Это означает, что каждое из тел, отмеченных звездочкой в таблицах 3 и 4, необходимо построить развертку боковой поверхности с учетом полученной линии пересечения.

На образцах (рисунках 6 и 7) показано, как выполняются развертки. Допускается также построить обе развертки на формате А3, а задачи 3 и 4 также выполнить вместе без разверток.

Во всех вариантах в таблицах 3 и 4 заданы четыре типа разверток:

1.Призма, занимающая проецирующее положение.

2.Пирамида

3.Цилиндр - так же, как и призма, проецирующий

4.Конус

Рассмотрим на примере построение каждой из четырех возможных поверхностей.

125

Призма (рисунок 8); если она занимает проецирующее положение, то на одной из проекций - есть натуральная величина основания, а на другой проекции натуральная величина длины ребер.

Рисунок 8 – Пример выполнения развертки призмы

Развертка такой призмы представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна длине ребер, другая - сумме сторон основания. При переносе линии пересечения можно воспользоваться уже найденными при построении точками. Сначала замеряется расстояние между точками на основании и переносится без искажений на сторону развертки, которая соответствует сумме сторон основания. Затем на другой проекции (там, где есть натуральная величина длины ребер) замеряется расстояние от точки до основания (на этой проекции основание должно проецироваться в прямую линию) и откладывается по другой стороне развертки, потом при помощи линий связи находим искомую точку. Когда все точки найдены, они соединяются в линию.

Пирамида (рисунок 9); так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения развертки нужно построить натуральные

126

виды этих треугольников. Для этого должны быть определены истинные величины всех ребер пирамиды.

Натуру ребер строим методом прямоугольного треугольника. Один катет треугольника равен высоте пирамиды, второй катет равен проекции ребра на П1, гипотенуза - натуральная величина ребра. Строим диаграмму натуральных величин ребер. Для удобства построения один катет прямоугольного треугольника, высота пирамиды (для всех ребер одинаковая) откладывается в проекционной связи с высотой пирамиды на П2. Аналогично находится любая точка на поверхности пирамиды.

Рисунок 9 – Пример выполнения развертки пирамиды

Найдя натуру ребер, несложно построить развертку. Необходимо построить несколько треугольников, величина сторон которых заранее известна. Две стороны - это два ребра пирамиды, а оставшаяся сторона равна одной из сторон основания (основание пирамиды проецируется на П1 без искажений)

Цилиндр (рисунок 6). Эта развертка строится аналогично построению призмы. Так же, как и призма, цилиндр разворачивается в виде

127

прямоугольника, одна из сторон которого равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. Для удобства построения линии пересечения на развертке цилиндра кривую поверхность цилиндра приближенно заменяем поверхностями вписанных многогранников (т.е. вписанных призмой). При этом построение развертки можно выполнить с любой степенью точности за счет увеличения числа граней призмы. Сторона развертки, которая равна длине окружности, заменяется суммой хорд окружности.

Конус (рисунок 7), Развертка конуса выглядит в виде сектора круга. Радиус этого сектора равен длине образующей линии. Угол сектора считается по формуле φ=πD/l. Так же, как при построении развертке конуса, можно прибегнуть к способу приближения, т.е. окружность основания разбить на несколько частей и замерять хорды этих частей. При построении точек на поверхности следует помнить, что радиус замеряется только на очерковой образующей. Когда все точки найдены на развертке, они соединяются в плавную кривую линию.

Литература

1.Автоматизация инженерно-графических работ/ Г.А. Красильникова, В.В. Самсонов, С.М. Тарелкин – Спб: Питер, 2000г. – 256с.

2.Уваров А.С. AutoCad - 2000 для конструкторов - М.: ДМК, 2000г.

3.Хейфец А.Л. Инженерная компьютерная графика. Практический курс AUTOCAD’а: учебное пособие. Челябинск: издательство ЧГАУ, 2005г. – 105с.

4.Полищук В.В., Полищук А.В. AUTOCAD 2000. Практическое руководство.

– М.: Диалог-МИФИ, 2005г. – 448с.

5.З.А. Решетов, В.А. Пилатова, В.А. Краснов «Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь» - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2005.

128

Таблицы вариантов заданий

129