Учебное пособие по начертательной геометрии
.pdf
1 Общие требования к выполнению домашних контрольных работ
В процессе изучения курса начертательной геометрии, в соответствии с учебным планом, студенты должны выполнить четыре домашние контрольные работы. Это необходимо для того, чтобы студент усвоил пройденный материал и умел применять правила и приемы начертательной геометрии при решении определенных практических задач.
Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре зачетной книжке студента.
Работа № 1 - Пересечение плоскостей (выполняется на формате А4) Работа №2 - Сечение плоскостью (формат А3)
Работа №3 - Пересечение двух поверхностей (формат А3) Работа №4 - Пересечение двух тел вращения (формат А3)
Чертежи контрольных работ выполняются на отдельных листах чертежной бумаги формата А4 (210х297 мм) и формата А3 (297х420 мм) На каждом листе вычерчивается рамка и на формате А3 в правом нижнем углу чертежа выполняется основная надпись (штамп) по ГОСТ 2104-94 (рисунок 1, 2). На формате А4 штамп располагается внизу чертежа, вдоль короткой стороны (рисунок 1).
Рисунок 1 – Применяемые форматы для выполнения работ
111
Рисунок 2 – Основная надпись формата
После выполнения всех работ они брошюруются в альбом с титульным листом формата А3 (рисунок 3) Размеры при выполнении титульного листа не указываются.
Рисунок 3 – Титульный лист задания |
Альбом контрольных работ сдается студентом на проверку преподавателю - экзаменатору.
112
При заполнении основной надписи (штампа) необходимо учесть следующее:
1)Графа 1(рисунок 2) заполняется следующим образом НГ.105.001, где НГ - начертательная геометрия, первая цифра - № задания, вторая и третья цифры - № варианта, три оставшиеся цифры - № работы.
2)В графе 2 (рисунок 2) записывается название работы (названия работ перечислены ранее)
2.Рекомендации к выполнению контрольной работы №1
Изучив теоретический материал, можно приступить к выполнению домашних контрольных работ. Содержание контрольной работы №1: даны точки В, С, D, E, F, своими координатами вычисленные по отношению точки А(А1,А2) (таблица 1). Координаты точки А - произвольные. Проекции точки А (А1А2) нужно брать так, чтобы длина линии связи была не меньше чем
А1А2 =[-Ymax]+[-Zmax]+10. Требуется построить прямую линию пересечения между плоскостями ABC и DEF и определить их видимость по отношению плоскостей проекций П1 и П2.
Задача решается на формате А4 (образец выполнения этой работы на рис. 4). Проекции точек B, C, D, E, F, строят по координатам (табл. 1), заданным относительно точки А.
После решения задачи видимые части треугольников можно раскрасить цветными карандашами.
Для решения задачи необходимо сначала проанализировать заданный чертеж. Плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF, - общего положения. Следовательно, эта задача третьей группы сложности. Из теории должно быть известно, что такие задачи решаются при помощи посредников. Каждый посредник помогает выявить одну общую точку. Необходимо построить линию пересечения, т.е. не менее двух точек,
113
Рисунок 4 – Пример выполнения задания №1 |
114
следовательно, и посредников должно быть два. Рассмотрим решение на примере (рис. 4)
1.Пересечем заданные плоскости ABC и DEF вспомогательной плоскостью - посредником λ(λ2) (горизонтальной плоскостью уровня) и далее строим линии пересечения плоскости λ с каждой из данных плоскостей: λ ∩
ABC=1,2; λ ∩ DEF=D,3. Так как λ П2, то 1222=λ2 и D232=λ2 Горизонтальные проекции точек 1,2 и 3 строим на основании принадлежности: 1 с АВ, 2 с ВС и
3 с EF.
2.Находим точку пересечения построенных прямых на горизонтальной плоскости проекций 1121 ∩ D131=M1. Т.к. точка М принадлежит плоскости λ, то вторую проекцию точки M (М2) строим на основании принадлежности λ(λ2). Точка M принадлежит трем плоскостям ABC, DEF и λ, следовательно, она является первой точкой, принадлежащей линии пересечения.
3.Для того чтобы найти еще одну точку аналогично, проведем вторую
вспомогательную плоскость ( 2) (горизонтальную плоскость уровня) : ∩
ABC=C,4; ∩ DEF=5,6.
Так как ||λ, то нет необходимости находить горизонтальные проекции всех точек. Достаточно найти горизонтальную проекцию точки 5 и провести 5161 || D131 и С141||1121 Там где C141 и 5161 пересекутся, находится вторая точка N (N1,N2), N2 находится аналогично M2.
4.Соединив M1N1 и N2M2, получим проекцию линии пересечения. 5.Видимость определяем при помощи конкурирующих точек. На П2
конкурирующие точки 72=82 выбираем в месте видимого пересечения E2F2 и A2B2. Из точек 72 =82 опускаем линию связи на П1. Точки 7EF, точка 8AB на П1 видим, что точка 7 находится ближе, чем точка 8. Делаем вывод, что в месте видимого пересечения видимой является E2F2 . Аналогично на П1 конкурирующие точки 91=101, 9BC, 10FE. По линии связи определяем, что точка 9 находится выше, чем 10, следовательно, видимой является B1C1. Без определения видимости задача считается нерешенной.
115
3 Рекомендации к выполнению контрольной работы №2
Содержание контрольной работы №2: дано непрозрачное комплексное тело (таблица 2). Фронтально-проецирующую секущую плоскость Р(Р2), проводим самостоятельно через середину высоты комплексного тела под углом
60° к горизонтальной плоскости проекций.
Требуется построить проекции и определить натуральную величину сечения поверхности комплексного тела секущей плоскостью способом замены плоскостей проекций и способом плоскопараллельного перемещения.
Плоскость, секущая геометрическое тело, считается непрозрачной и безграничной. Исходя из этого, нужно определить видимость элементов геометрического тела на П1. Секущая плоскость получится видимой на П2 в виде прямой линии.
Исходный чертеж исполняется в масштабе 1:1 на листе чертежной бумаги формата А3 Выполненную работу в тонких линиях предъявить на проверку преподавателю, после чего можно проекции сечения и натуральную величину сечения обвести цветными карандашами.
Решение задачи рассмотрим на примере (рисунке 5). Фронтальная проекция сечения вырождается в прямую линию, совпадающую с проекцией фронтально-проецирующей плоскостью Р(Р2). Следовательно, строить нужно горизонтальную проекцию сечения. Для этого разбиваем фронтальную проекцию на вспомогательные точки, по которым и будем строить горизонтальную проекцию сечения. Определим сначала высшие точки (1,2) и низшие (9,10). Высшие точки лежат на очерке призмы, низшие - на плоскости основания шаровой поверхности. Таким образом, найти горизонтальные проекции нетрудно, достаточно опустить линии связи до пересечения; для точек 1 и 2 - с очерком призмы; для точек 9 и 10- с нижним основанием шаровой поверхности. Далее определяем точки 3 и 4 - эти точки расположены на ребрах призмы.
116
Рисунок 5 – Пример выполнения задания №2 |
117
Следующие точки 5,6,7,8 - они расположены в месте перехода шаровой поверхности в поверхность призмы. Точки 5 и 8 лежат на верхнем основании усеченной шаровой поверхности, а точки 6 и 7 - на основании призмы.
Случайные точки 11 и 12 находим при помощи параллели m (m2). Для этого на П1 радиусом параллели R (радиус определяется от оси до очерка) строим горизонтальную проекцию параллели m (m1) и находим при помощи линий связи находим на ней горизонтальные проекции точек 11 и 12.
Полученные точки на П1 соединяем с учетом видимости, считая Р бесконечной и непрозрачной. Тогда при взгляде на П1 правая часть комплексного тела будет находиться под плоскостью Р и, следовательно, будет невидима на П1.
Следующим этапом решения задачи является определение натуральной величины сечения. Сначала рассмотрим способ замены плоскостей проекций. Плоскость проекций П1 заменяем на П5, причем располагаем П5 параллельно сечению. Для этого на чертеже необходимо провести ось Х12 (можно провести ее по низу фигуры) и новую ось Х25, которая должна быть параллельна Р2. Расстояние между Р2 и Х25 берется произвольно, исходя из соображений компактности чертежа. Поскольку расстояния до незаменяемой плоскости проекций П2 сохраняются на П5, их замеряют на П1 (от точки до оси Х12)и откладываются на соответствующей линии связи на П5 (от оси Х25). Полученные точки соединяются линией.
Теперь рассмотрим способ плоскопараллельного перемещения. В этом случае фронтальную проекцию сечения расположим параллельно оси Х12 (сохраняя при этом расстояние между точками неизменным). Для получения натуральной величины теперь достаточно провести линии связи от каждой точки с П2 и с П1. В месте пересечения одноименных линий связи получатся точки натуральной величины сечения. Полученные точки соединяются линией.
Следует обратить внимание на следующее:
118
1.Поскольку натуральную величину необходимо получить двумя способами, компоновку чертежа нужно стараться делать так же, как на образце (рисунок 5)
2.В обоих случаях фигура натуральной величины сечения должна получиться одинаковой.
4 Рекомендации к выполнению контрольной работы №3
Содержание работы №3: способом вспомогательных секущих плоскостей, или по принадлежности точек к одному из геометрических тел, построить линию взаимного пересечения поверхностей заданных геометрических тел (таблица 3). Определить видимость.
При определении точек линии пересечения между поверхностями заданных геометрических тел, в первую очередь обязательно находятся и обозначаются на чертеже характерные (опорные) точки: экстремальные (высшая и низшая, передняя и задняя, левая и правая), очерковые точки для каждой поверхности и на каждой проекции, а также точки, расположенные на ребрах многогранника, и точки смены видимости.
Количество произвольных точек должно быть достаточным для построения плавной кривой линии или ломаной кривой линии пересечения.
Рассмотрим решение задачи на примере (рисунок 6). Первое, что нужно сделать, это проанализировать чертеж. Итак, пересекаются две фигуры: пирамида и цилиндр, т.е. поверхность вращения с многогранником. Следовательно в результате пересечения должна получиться ломаная кривая линия. Поскольку ни одна из фигур не участвует полностью в пересечении, это значит, что мы имеем дело со случаем врезки, а это в свою очередь значит, что линией пересечения будет одна замкнутая ломаная кривая линия. Теперь сами фигуры: пирамида - фигура общего положения, цилиндр - фронтально проецирующий, поскольку ось цилиндра перпендикулярна фронтальной плоскости проекции. Задача второй группы сложности. Проецирующие фигуры обладают собирательным свойством: все точки на поверхности фигуры (в том числе и линия пересечения) совпадают с главной (вырожденной) проекцией
119
этой фигуры. В нашем случае линия пересечения совпадает с фронтальной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью на П2. Теперь, для того чтобы построить линию пересечения на П1, мы разобьем окружность на точки и будем строить эти точки на П1 на основании принадлежности к пирамиде.
Выберем опорные точки: 1 и 2 - точки, лежащие на ребрах пирамиды и одновременно самые левые; 3 и 4 - эти точки также лежат на ребрах пирамиды
иодновременно самые верхние; 5 и 6 - точки, лежащие на оси цилиндра, следовательно, это точки смены видимости, кроме того это самые правые точки; 7 и 8 – это самые нижние точки и так как они лежат на оси цилиндра, то точка 7 - самая ближняя, точка 8 - самая дальняя.
Теперь случайные точки: для построения точек 7 и 8 проведем вспомогательные линии, т.е. соединим вершину пирамиды S с точками 7 и 8 и найдем, где эти линии пересекут основание пирамиды в точках M и N. Эти вспомогательные линии на П2 кроме точек 7 и 8 пересекают окружность еще в одном месте, там мы обозначим случайную пару точек 9 и 10.
Далее произвольно проведем параллель ниже точек 1 и 2, но выше точек 7 и 8, на этой параллели возьмем две пары случайных точек 11 и 12, а также 13
и14. Последнюю пару случайных точек 15 и 16 также возьмем при помощи параллели, которую проведем ниже точек 9 и 10 и выше 5 и 6.
Следующий шаг: отыщем эти точки на П1. Точки 1, 2, 3 и 4 лежат на ребрах пирамиды (1 и 3 на SA, 2 и 4 на SB), поэтому для определения достаточно провести линии связи. Как найти точки 7, 8, 9 и 10 описано выше. Для отыскания остальных точек были проведены параллели на П2, далее параллели построены на П1 и при помощи линии связи найдены искомые точки. Все точки найдены. Они соединяются в ломаную кривую линию. Точки 5 и 6 на линии пересечения являются точками смены видимости. Вся линия пересечения, которая на П2 расположена выше точек 5 и 6, на П1 видима.
120