Учебное пособие по начертательной геометрии
.pdf
Фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной вертикальной линии связи – А1А2 X12.
Фронтальная и профильная проекция точки расположены на одной линии связи – А2А3 Z23. При наличии двух проекций точки, третью проекцию можно найти с помощью прямой - Ко, которая называется постоянной прямой комплексного чертежа.
При безосном способе изображения положение осей проекций становится неопределенным и они на комплексном чертеже не наносятся. Комплексный чертеж точки приобретает вид, показанный на рисунке 5. Условие связи между проекцией те же, что и при осном способе изображения.
Рисунок 5 – Безосный чертеж точки
Определение пространственного положения точки можно осуществить при помощи ее прямоугольных координат. Координатами точки являются числа, выражающие расстояние от точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.
Широта точки – расстояние от точки А до плоскости П3; обозначается Xа.
Широта точки читается на П1 и П2.
Глубина точки – расстояние от точки А до плоскости П2; обозначается Yа.
Глубина точки читается на П1 и П3.
11
Высота точки – расстояние от точки А до плоскости П1;
обозначается Zа. Высота точки читается на П2 и П3. При прямоугольном проецировании возможны случаи, когда две точки имеют одинаковую координату. В этом случае на двух плоскостях проекций они лежат на одной линии связи, а на третьей плоскости проекций – проекции этих точек совпадают (одна из них закрывается другой). Такие точки называются конкурирующими точками. Конкурирующие точки могут быть на П1, П2 и П3. В каждом из этих случаев важно знать условия видимости конкурирующих точек:
1.Из двух горизонтально конкурирующих точек на П1 видна та, которая выше (у которой больше высота).
2.Из двух фронтально конкурирующих точек на П2 видна та, которая ближе (у которой больше глубина).
3.Из двух профильно конкурирующих точек на П3 видна та, у которой больше широта.
Выводы:
1.Совокупность двух и более взаимосвязанных, ортогональных проекций геометрической фигуры, расположенных на одной плоскости чертежа, называется комплексным чертежом.
2.Обратимый комплексный чертеж должен содержать не менее двух проекций геометрической фигуры.
4 Прямая
Прямая линия может быть задана в пространстве любыми двумя точками (например А и В рисунок 6 ).
Построение проекций прямой на плоскость сводится к построению проекций её концевых точек, соединенными между собой прямыми линиями
А1В1 и А2В2.
12
Прямая общего положения – это прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (рисунок 6) все её проекции расположены под углом к линиям связи, причем этот угол не равен 900.
Рисунок 6 – Комплексный чертеж прямой общего положения
На чертежах, применяемых в технике, нет надобности устанавливать расстояние точек изображаемого объекта до плоскостей проекций. Важно показать их взаимное расположение, поэтому необходимость задания осей проекций на комплексном чертеже во многих случаях отпадает.
Рисунок 7 – безосный комплексный чертеж прямой, на котором отсутствуют оси координат (не зафиксированы плоскости проекций), следовательно, нет координат точек, но есть разности координат.
13
Рисунок 7 – Положение точек относительно друг друга
Прямые параллельные или перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций называются прямыми частного положения.
Линии уровня
Прямая параллельная какой-либо плоскости проекций называется линией уровня (рисунок 8):
а) прямая АВ параллельна П1 ее называют горизонталью. Проекция на П2
- А2В2 параллельна оси X, перпендикулярна вертикальным линиям связи;
проекция на П1 - А1В1 натуральная величина самого отрезка, β – угол наклона
АВ к П2;
б) прямая СD параллельна П2 ее называют фронталью. Проекция на П1 -
С1D1 параллельна оси X, перпендикулярна вертикальным линиям связи;
проекция на П2 - С2 D2 натуральная величина самого отрезка, α – угол наклона
СD к П1;
14
в) прямая EF параллельна П3 ее называют профильной прямой. Проекция на П2 - E2F2 параллельна Z, на П1 - E1 F1 параллельна Y, совпадает с вертикальной линией связи, проекция на П3 - E3F3 натуральная величина самого отрезка, α и β углы наклона к П1 и П2.
Проецирующие прямые
Прямая перпендикулярная к какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой (рисунок 8):
г) прямая АВ перпендикулярна к П1 ее называют горизонтально- проецирующей прямой. Проекция на П1 точка А1=В1 , обладает собирательным свойством, на П2 и П3 проецируется в натуральную величину;
д) прямая ЕF перпендикулярна к П2 ее называют фронтально- проецирующей прямой. Проекция на П2 точка Е2=F2, обладает собирательным свойством, на П1 и П3 проецируется в натуральную величину;
е) прямая ЕD перпендикулярна к П3 ее называют профильно- проецирующей прямой. Проекция на П3 точка Е3=D3, обладает собирательным свойством, на П1 и П2 проецируется в натуральную величину.
а) |
г) |
15
б) |
д) |
в) |
е) |
Рисунок 8 – Прямые частного положения
Таким образом, можно видеть, что прямые уровня и проецирующие прямые на комплексном чертеже всегда имеют одну из проекций, которая равна натуральной величине отрезка. Несложно так же определить и углы наклона таких прямых к плоскостям проекций.
Для определения натуральной величины прямой общего положения и угла ее наклона к плоскости проекций пользуются способом прямоугольного треугольника (рисунок 9).
16
а) |
б) |
Рисунок 9 – Способ прямоугольного треугольника
Построим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ на плоскости Π1. Проведем АВ0 параллельную А1В1. Треугольник АВВ0 - прямоугольный (рисунок 9а) длина одного его катета равна длине горизонтальной проекции отрезка АВ, а второго – разности высот точек АВ. Отрезок АВ является гипотенузой этого треугольника, а угол α - углом наклона АВ к Π1.
Треугольник конгруэнтный данному, можно построить на комплексном чертеже (рисунок 9б).
Приняв А1В1 за один катет, строим прямоугольный треугольник, вторым катетом которого является отрезок В1В\ = ZВ – ZА – разность высот. Длина гипотенузы А1В\ равна натуральной величине АВ, а угол α = В1А1В\ – величине угла наклона его к Π1. Длина отрезка может быть определена как длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является фронтальная проекция А2В2, а вторым – разность глубины А и В (это построение также показано на рисунке 9б). Гипотенуза А\В2 – натуральная величина АВ, а угол β - А\В2А2 – величина угла наклона отрезка АВ к Π2.
17
4.1 Взаиморасположение прямых
Две прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. На рисунке 10а дано наглядное изображение прямых АВ и СD, пересекающихся в точке К, а также их комплексный чертеж (рисунок 10б).
а) б) Рисунок 10 – Пересекающиеся прямые
Признаком пересекающихся прямых на комплексном чертеже является то, что их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.
На рисунке 11а дано наглядное изображение параллельных прямых АВ и СD, а также их комплексный чертеж (рисунок 11б). Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции тоже параллельны.
Действительно, проецирующие плоскости Р и θ, проведены через параллельные прямые АВ и СD (рисунок 11). С плоскостью проекций П1 они пересекаются по параллельным прямым А1В1 и С1D1 – проекциям прямых АВ и СD на плоскости
П1.
18
а) |
б) |
Рисунок 11 – Параллельные прямые |
|
На рисунке 12а даны наглядные изображения двух скрещивающихся прямых АВ и СD, а также их комплексный чертеж (рисунок 12б). В пространстве такие прямые не имеют общих точек, на комплексном чертеже точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Такие точки называются конкурирующими и используются для определения видимости чертежа.
а) б) Рисунок 12 – Скрещивающиеся прямые
19
Важен вопрос, какая из прямых расположена выше и ближе к наблюдателю. На рисунке 12а (наглядное изображение) видно, что при взгляде сверху по указанной стрелке точка 3 на прямой АВ закрывает точку 4, а при взгляде спереди точка 1 закрывает точку 2. На комплексном чертеже этих прямых видно, что 32 выше чем 42 и при взгляде сверху по стрелке N при проецировании на П1 точка 31 закрывает точку 41. При взгляде спереди по стрелке M видно, что точка 11 прямой АВ находится ближе к наблюдателю чем точка 21. При проекции на П2 точка 12 прямой АВ закрывает точку 22 прямой СD. Следует отметить, что точки 1 и 2 называют фронтально-конкурирующие, а точки 3 и 4 – горизонтально-конкурирующие.
4.2 Проецирование прямого угла
При пересечении двух прямых образуются углы, которые проецируются на любую плоскость проекций без искажений в случае, если обе прямые лежат в плоскости, параллельной плоскости проекций. Если две прямые пересекаются под прямым углом, то следует знать, что проецирование прямого угла имеет особое свойство.
Если одна из сторон прямого угла параллельна одной из плоскостей проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажений (инвариантные свойства параллельного проецирования).
На комплексном чертеже (рисунок 14 а, б, в) показаны проекции взаимно перпендикулярных прямых, где а, б, с – прямые общего положения; h – горизонталь, f – фронталь, р – профильная прямая уровня.
20