Учебное пособие по начертательной геометрии

Задача №2 (1 группа) Определить расстояние от точки М до плоскости общего положения θ(А1В1С1, А2В2С2) (рисунок 31).

Если проецировать плоскость θ(А1В1С1, А2В2С2) на плоскость П4, перпендикулярную к θ, то эта плоскость проецируется в прямую θ4 (рисунок 31а). Перпендикуляр MN, опущенный из точки М на плоскость θ, будет линией уровня по отношению к П4. Поэтому перпендикуляр MN проецируется на П4 без искажения, то есть MN = M4N4, причем M4N4 перпендикулярна θ4. Таким образом плоскость θ надо сделать проецирующей.

Алгоритм решения:

1.Заменяем П2 на П4, тогда θ стала проецирующей (рисунок 31б) то есть на П4 плоскость θ – прямая.

2.Опускаем из М перпендикуляр на θ4.

3.M4N4 – искомое расстояние, причем его натуральная величина.

4.Обратным преобразованием построены проекции М1N1 и M2N2 отрезка

MN.

Рисунок 31 – Пример решения метрической задачи №2

41

Задача №3 (2 группа) Определить величину угла между двумя плоскостями (рисунок 32).

а) б)

Рисунок 32 – Пример решения метрической задачи №3

Угол между плоскостями Г и ∆ (рисунок 32а) измеряется одним из его линейных углов, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей, перпендикулярной к ним.

Если линия пересечения плоскостей Г и ∆ (ребро двугранного угла) не задана, то определения искомого угла требует ряда дополнительных построений. Но их можно избежать, определяя угол β, заключенный между перпендикулярами m и n. Угол β является искомым если он острый; если же β -

тупой, то искомый угол α = 180 - β. Алгоритм решения следующий:

1.Из точки N провести m Г и n ∆.

2.Преобразовать плоскость ∑ (m ∩ n) в плоскость уровня.

42

На рисунке 32б, показано определение двугранного угла, образованного плоскостями Г (АВС) и ∆ (ВСD), когда ребро ВС искомого угла задано. Задача решена преобразованием ВС в проецирующую прямую.

Задача №4 (3 группа) В плоскости θ (a ∩ b) построить равносторонний треугольник АВС, если радиус описанной окружности равен R (рисунок 33).

Рисунок 33 – Пример решения метрической задачи №4

Алгоритм решения:

1.преобразуем плоскость θ (a ∩ b) в плоскость уровня:

а) проводим в плоскости θ горизонталь h (h1, h2);

б) проводим X14 h1, тогда θ - проецирующая;

в) проводим X45 ‖θ(a4, b4), тогда θ - плоскость уровня.

2.Строим в плоскости уровня θ равносторонний треугольник А5В5С5, зная радиус описанной окружности.

3.Обратным преобразованием построены проекции А1В1С1 и А2В2С2 треугольника АВС.

43

7 Поверхности. Элементарные задачи на поверхности

Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия, которая перемещаясь образует поверхность, называется образующей.

Линии, которые остаются неподвижными и с которыми при своем движении пересекается образующая, называются направляющими.

Сочетание образующих и направляющих называется каркасом поверхности.

Если образующая – прямая линия, то поверхность, образованная при помощи этой прямой линии, называется линейчатой.

Поверхность, которая образуется при помощи кривой линии, называется криволинейной. Условие, которое определяет поверхность, как совокупность всех положений образующей или направляющей, называется кинематическим законом образования поверхности.

Совокупность геометрических элементов, дающих возможность реализовать кинематический закон образования поверхности, называется определителем поверхности.

Вчисло условий, входящих в состав определителя, должны быть включены:

а) геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности; б) алгоритмическая часть или закон, указывающая на взаимосвязь между

этими фигурами.

Вобщем случае определитель поверхности будет иметь следующую структурную формулу:

Ф(Г); [А], где

Ф – поверхность; (Г) – геометрические элементы;

44

[А] – закон образования поверхности, указывающий на взаимосвязь между геометрическими элементами.

Задание поверхности определителем является позиционно полным и метрически определенным, т.е. на чертеже определителя поверхности можно решать любые позиционные и метрические задачи, связанные с самой поверхностью.

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, необходимо задать ее проекциями определителя.

Например, для изображения на комплексном чертеже конической поверхности (рисунок 34) достаточно задать проекции вершины (точка) S(S1,S2), направляющей кривой m(m1,m2). И знать закон, указывающий на взаимосвязь между геометрическими элементами.

Задание конической поверхности (рисунок 34) является позиционно полным и метрически определенным, т.к. можно построить любое количество точек для решения соответствующих задач.

Ф(Г); [А], где

Ф – коническая поверхность (Г): S (точка), m – направляющая

[А]: l S; l ∩ m

Если в качестве направляющей будет взята ломаная линия, то коническая поверхность превратится в пирамидальную, а цилиндрическая – в призматическую.

Чертежи поверхностей заданных определителем обладают рядом достоинств (лаконичность, конкретность, простота), но имеют один недостаток

– они не являются наглядными, т.к. не всегда просто представить форму заданных поверхностей. Поэтому поверхности на комплексном чертеже задают проекциями очерков (крайние очертания поверхности). Чертежи таких поверхностей называют основными.

45