11.4 Виды поверхностей вращения
Поверхности вращения подразделяются.
А. Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси i (цилиндр, конус, однополостный гиперболоид). Точки на поверхностях находят с помощью параллелей или образующих (см. рис.35). Определитель поверхностей один ∑(ί, ℓ).
Б. Поверхности, образованные вращением окружности вокруг оси ί (сфера – шаровая поверхность, тор) (см. рис.36).
1. Шаровая поверхность – образующая окружность, вращается вокруг своего диаметра, так как ось вращения ί совпадает с ее диаметром. Экватор ℓ и меридиан к равны: ℓ = к (см. рис.36). Точка С лежит на главном меридиане.. Точка Е лежит на экваторе. Определить т. А, В можно с помощью параллелей своего радиуса R и R1.
2. Тор - поверхность, образованная при вращении окружности вокруг оси ί принадлежащей плоскости этой окружности, не проходящей через ее центр.
Тор может быть открытым или закрытым в зависимости от R образующей окружности и центра, и расстояния от центра оси вращения (см. рис.37а, б).
В. Поверхности, образованные вращением кривых 2-го порядка (эллипс, парабола, гипербола) вокруг их оси (см. рис.38 а, б, в, г). Эти поверхности могут быть заданы уравнением 2-ой степени.
Рассмотрим поверхности, образованные вращением эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей.
Эллипсоид вращения бывает двух видов:
а) вытянутый, который образуется при вращении эллипса вокруг его большой оси (рис.38);
б) сплюснутый, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси.
Параболоид вращения – поверхность, получающаяся вращением параболы вокруг ее оси (рис.39).
При вращении гиперболы могут получиться два вида гиперболоида вращения:
а) однополостный гиперболоид, образующийся при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси (рис. 40а). Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, так как может быть образован и вращением прямой ℓ(ℓ1, ℓ2) вокруг скрещивающейся с ней оси ί (ί1, ί2 ) (рис.41);
б) двуполостный гиперболоид образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис.40б).
На рис.40 показан также асимптотический конус, который образуется при вращении асимптот гиперболы, причем, однополостный гиперболоид расположен во внешней области асимптотического конуса, а двуполостный гиперболоид – в его внутренней области.
Все рассматриваемые поверхности вращения, за исключением тора, являются алгебраическими поверхностями второго порядка, так как при пересечении прямой линии с каждой из этих поверхностей образуется не более двух точек. В результате пересечения прямой линии с поверхностью тора могут получиться четыре точки. Поэтому тор является поверхностью 4-го порядка.
Построение точки А на каждой из разобранных поверхностей вращения осуществлено с помощью соответствующей параллели (рис.35-41).
11.5. Циклические и топографические поверхности.
1. Циклической поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.
Из рассмотренных выше поверхностей к циклическим можно отнести все поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением окружности (параллели), центр которой перемещается вдоль оси, а ее плоскость перпендикулярна к оси. К циклическим поверхностям можно также отнести те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения.
Кроме этого, к циклическим поверхностям можно отнести каналовые и трубчатые поверхности (рис. 42).
Каналовая поверхность образуется движением окружности переменного радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой ℓ (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой (рис. 42а).
Трубчая поверхность отличается от каналовой только тем, что ее образующая окружность m имеет постоянный радиус (рис. 42б).
Если направляющая ℓ трубчатой поверхности является цилиндрической винтовой линией, образуется трубчатая винтовая поверхность (рис.42в).
2. Топографической поверхностью называется поверхность, образование которой не подчинено какому-либо геометрическому закону.
К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судна, обшивки самолета, автомобиля и др.
На чертеже эти поверхности изображают при помощи совокупности некоторых линий. Так, земная поверхность изображается при помощи семейства ее горизонталей (рис.43), поверхность обшивки самолета и другие – при помощи ее линий уровня (горизонталей, фронталей и профильных прямых) с последующей их увязкой и согласованием.
Такие поверхности часто называют каркасными, так как совокупность линий, которыми они задаются, образуют каркас поверхности. На рис.44 показан теоретический чертеж поверхности фюзеляжа самолета, который обычно выполняется в натуральную величину. На чертеже показаны три семейства линий рассматриваемой поверхности, а именно: горизонтали, фронтали, профильные прямые. При этом, чтобы не затемнять горизонтальную и фронтальную проекции, на чертеже не изображены фронтальные проекции горизонталей и горизонтальные проекции фронталей.