10.1. Общие сведения о кривых

Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин « кривая » в начертательной геометрии рассматривается как траектория, описанная движущейся точкой, как проекция другой кривой, как линия пересечения двух поверхностей и т.д.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной. Примером плоской кривой может служить окружность, так как все ее точки размещаются в одной плоскости. Пример пространственной кривой - винтовая линия (рис. 20). К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Это все плоские кривые. Если кривая 2-го порядка пересекается с прямой линией или плоскостью, то она не может давать более 2-х точек пересечения. Это ее отличительный признак, выраженный на языке начертательной геометрии. Кривая линия моделируется на плоскость проекций парой кривых.

Проверить плоская это кривая или пространственная можно с помощью 3-х точек А, В, С. Проекции точек должны лежать на проекциях кривой и располагаться на одной линии связи, или необходимо соединить попарно двумя прямыми линиями 4 произвольные точки этой кривой (рис. 21). Если эти прямые окажутся пересекающимися, то заданная на комплексном чертеже кривая – плоская, если скрещивающимися - пространственная. К пространственным кривым относятся все кривые, полученные при пересечении кривых поверхностей.

Кривые линии подразделяются на алгебраические, которые можно задать алгебраическими уравнениями (окружность, эллипс, парабола, гипербола др.) и трансцендентные, уравнение которых имеет вид трансцендентных функций (синусоида, спираль Архимеда и др.).

Важно уметь у алгебраических кривых определить порядок кривой – степень ее уравнения. Порядок плоской кривой геометрически определяется как максимально возможное число точек пересечения кривой с прямой линией, порядок алгебраической пространственной кривой – как максимальное число точек пересечения кривой с плоскостью. Например, прямая линия может пересекаться с эллипсом не более чем в 2-х точках. Отсюда эллипс – кривая второго порядка и его уравнение второй степени.

10.2. Особые точки кривых

Точки кривых разделяются на обыкновенные ( рис.22а ) и особые (рис.22б, в, г, д, е). На рис. 22б точка N – точка перегиба, на рис. 22в точка Р – точка возврата первого рода, на рис. 22г точка Q – точка возврата 2-го рода, на рис. 22д точка R – узловая точка, на рис. 22е точка Т – точка излома.

Для характеристики точек плоской кривой необходимо наличие одной проекции кривой, а чтобы судить о характере точек пространственной кривой необходимо наличие двух проекций этой кривой.

10.3. Секущая, касательная, нормаль к кривой

Прямая, пересекающая кривую в одной, двух и более точек называется секущей (рис. 23 – КК^/). Касательной прямой ℓ к кривой m , в некоторой точке К является предельное положение секущей КК^/, при котором точка К^/ стремится к точке К. Прямая n проведенная через точку К перпендикулярно к касательной ℓ называется нормалью (рис.23). Причем, если прямая касается кривой в пространстве в некоторой точке К, то проекции этой прямой касаются проекций кривой в точках, которые являются проекциями точки касания (рис.21). На практике при анализе плоских кривых необходимо уметь строить касательную из точки, лежащей вне кривой, и через точку, взятую на кривой линии.

Для построения касательной, проведенной из точки вне кривой (рис.24), проведем из точки А пучок секущих, пересекающих данную кривую m в точках 1,2,3,4… .Через середины полученных хорд проводим кривую ошибок ℓ, которая пересекаясь с данной кривой m , определяет точку касания К. Через данную точку касания К и данную точку А проводим искомую касательную.

Чтобы построить касательную через точку К, взятую на кривой m, необходимо провести вспомогательную прямую ℓ расположенную приблизительно перпендикулярно к будущей касательной (рис.25). Затем через точку касания К проводим пучок секущих, пересекающих вспомогательную прямую ℓ в точках 1,2,3,4… . От этих точек откладываем соответствующие хорды. Через полученные на секущих точки: 1^/, 2^/ , 3^/,… проводим кривую ошибок ℓ^/ , которая пересекаясь со вспомогательной кривой ℓ, определяет вторую точку А, искомой касательной.