- •Министерство образования Московской области
- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа № 15
- •"Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
- •Уравнений первого порядка"
- •Элементы теории
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Excel
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа ms Excel
- •Лабораторная работа № 19 "Решение задач параболического типа" Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Расчет
- •Вид рабочего листа Динамика
- •Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)
- •Заключение
- •Литература
- •Учебно-методическое издание
Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа:
(1)
Уравнение (1) называется уравнением Пуассона.
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике:
и принимающее на границе Г заданные значения
(2)
Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).
Для численного решения задачи (1)-(2) введем в сетку:
,
где
и обозначим через - сеточную функцию, заданную на;hх и hу – шаги сетки по координатам х и у.
Аппроксимируем каждую из вторых производных на трехточечном шаблоне:
Обозначим . (3)
Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением:
(4)
К этому уравнению надо присоединить краевые условия:
(5)
Граница сетки состоит из всех узлов (0, n ), (m , 0 ), (M , n), (m ,N), кроме вершин прямоугольника (0, 0), (M , 0 ), (M , N), (0,N), которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне:
.
Схему (4) часто называют схемой "крест". Можно показать, что схема "крест" имеет второй порядок аппроксимации.
Выразим из разностного уравнения (4) значение сеточной функции ymn :
(6)
Будем рассматривать простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значения искомой функции:
(7)ой функции.кции. простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значен
Разностная система уравнений (6)-(7) замкнута относительно (M-1)(N-1) неизвестных значений сеточной функции ymn .
Система уравнений (6)-(7) приведена для применения метода простой итерации. Считая, что на k-ой итерации значения сеточной функции известны, ее значения на итерацииk + 1 вычисляем по формуле (6), привлекая в необходимых случаях известные граничные условия (7):
(8)
Для реализации алгоритма (8) необходимо получить начальные значения для неизвестных. Получим их с помощью линейной интерполяции по граничным значениям: сначала по переменной х (строкам), потом по переменной у (столбцам).
Линейную интерполяцию по строкам проведем по формуле:
(9)
Линейную интерполяцию по столбцам проведем по формуле:
(10)
За начальные значения принимаем полусумму полученных величин:
(11)
В принципе, алгоритм обладает хорошей устойчивостью и в качестве начального приближения можно взять, например, нулевые значения параметров. Предложенный способ начального приближения адаптирован к граничным условиям и поэтому может обеспечить более быструю сходимость к решению.
Максимальную погрешность текущего приближения оценим по формуле:
(12)
Рассматриваемая задача имеет очевидную физическую интерпретацию. Рассчитывается температурное поле в тонкой плоской теплопроводящей пластине (прямоугольнике), теплоизолированной с плоских торцов, тонкие торцы которой имеют заданную температуру, а внутри пластины распределены тепловые источники (или стоки) с заданной интенсивностью f.