Министерство образования Московской области

ГОУ ВПО МО

"Коломенский государственный педагогический институт"

А.С. Трушков

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Компьютерный практикум

Часть 3

Обыкновенные дифференциальные уравнения

и системы

Задачи математической физики

Учебное пособие

Коломна - 2006

УДК 519.613 (075.8) ББК 22.143 + 32.97 я73 Т 77

Рекомендовано к изданию редакционно- издательским советом Коломенского государственного педагогического института

Трушков А.С.

Численные методы. Компьютерный практикум. Часть 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Задачи математической физики: Учебное пособие. – Коломна; КГПИ, 2006 – 92 с.

Данное учебное пособие предназначено для выполнения компьютерного практикума по дисциплине "Численные методы" для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. В третьей части учебного пособия рассмотрены лабораторные работы по численному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем, решению краевых задач 2-го порядка, решению задач математической физики: эллиптических, параболических и гиперболических дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных производных.

Рецензенты:	Новиков В.Г., доктор технических наук, профессор, начальник сектора Конструкторского бюро машиностроения
	Родионов К.А., кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий Коломенского института Московского государственного открытого университета

 ГОУ ВПО МО "КГПИ", 2006

 Трушков А.С., 2006

Содержание

Введение ……………………………………………………………………	4
Лабораторная работа № 15 "Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" ……………………….	5
Лабораторная работа № 16 "Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" ……...	18
Лабораторная работа № 17 "Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка" …….	39
Лабораторная работа № 18 "Решение задач эллиптического типа" …….	52
Лабораторная работа № 19 "Решение задач параболического типа" …...	62
Лабораторная работа № 20 "Решение задач гиперболического типа" ….	75
Заключение …………………………………………………………………	90
Литература ………………………………………………………………….	91

Введение

Данное учебное пособие написано в соответствии с программой по дисциплине "Численные методы", изучаемой студентами физико-математических факультетов педагогических вузов. В третьей части учебного пособия представлены материалы 6 лабораторных работ, которые охватывают следующие разделы программы:

- численное интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка;

- численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и уравнений высших порядков;

- решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го рядка;

- численное решение дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов.

В каждом разделе приводятся необходимые теоретические сведения: основные теоремы, определения, формулы, определения и т.д. Кроме того, в каждом разделе приведен пример решения соответствующей задачи с использованием табличного процессора MS Excel. В задачах математической физики использовано алгоритмическое программирование на Visual Basic for Applications, когда решение связано с реализацией итерационных процедур. Практически это связано с многократным переносом полученного приближения решения в диапазон ячеек, соответствующих предшествующему приближению.

Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка осуществляется с помощью методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка на разностных сетках с удвоением отрезков интегрирования. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности используется также для решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и уравнения 2-го порядка. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка сводится к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и решается методом прогонки. Задача Дирихле для уравнения Пуассона (уравнение эллиптического типа) сводится к явной разностной схеме "крест" и решается методом простой итерации. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа, описывающее процесс теплопроводности в тонком стержне, аппроксимируется разностной схемой Кранка-Николсона и решается методом прогонки. Для уравнения гиперболического типа (колебания упругой струны) используется явная трехслойная схема с ограничением на величину шага по временной переменной.