§2. Решение транспортной задачи

На трех складах хранится некоторый продукт в количествах а₁= 50, а₂= 30, а₃ = 50 единиц соответственно. Этот продукт необходимо доставить в три магазина, заявки которых составляютb₁ = 25,b₂= 30,b₃ = 35 единиц соответственно.

Тарифы перевозок задаются матрицей:

.

Требуется найти план перевозок продукции, при котором суммарные транспортные расходы будут минимальными.

Решение

Прежде чем приступить к построению опорного плана, определим тип задачи. Для этого вычислим и. Так как>, то исходная транспортная задача является открытой. Прежде чем приступить к нахождению оптимального плана перевозок, нужно сделать ее закрытой. Для этого следует выполнить такие действия:

1. Ввести четвертый (фиктивный) магазин с заявкой b₄ = 130 – 90 = 40 единиц;

2. Положить транспортные тарифы на перевозку грузов в этот магазин со всех складов равными нулю, т. е. с_i4 = 0,i=.

Замечание. Если окажется, что <, то в исходной задаче следует ввести четвертый (фиктивный) склад, содержащий а₄ = –единиц груза, и положить тарифы на перевозку грузовc этого склада во все магазины равными нулю, т. е. с_4j = 0, j = .

Математическая модель

Определим переменные x_ij— количество груза, перевозимого изi-го склада вj-й магазин (). Математическая модель транспортной задачи имеет вид:

Z = 4x₁₁ +2x₁₂ +5x₁₃ ++ x₂₁ +3x₂₂ +3x₂₃ +5x₃₁ +4x₃₂ +2x₃₃ → min.

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ = 50

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ = 30

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ = 50

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 25

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 30

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 35

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ = 40

х_ij 0, i = , j =.

1. Нахождение опорного плана методом северо-западного угла

Построим для нахождения начального опорного плана таблицу.

Таблица 1

	25	30	35	40
50	4	2	5	0
30	1	3	3	0
50	5	4	2	0

Нахождение начального опорного плана может осуществляться различными способами. Наиболее простым способом является методсеверо-западного угла.

Определим величину элемента x₁₁ = min {, } = min {50, 25} = 25. Занесем эту величину в первую клетку таблицы (1). Она показывает, что первый поставщик поставляет первому потребителю 25 единиц груза.

Так как потребность первого потребителя полностью удовлетворена, закрываем первый столбец и переходим в следующую клетку (1, 2) первой строки. Оставшийся запас первого поставщика равен 25 = 50 – 25 единицам, а потребность второго потребителя равна 30 единицам. Следовательно, от первого поставщика он может получить 25 единиц, т.е.x₁₂ = min {25, 30} = 25.

Так как запас первого поставщика исчерпан, закроем первую строку и перейдем на следующую строку в клетку (2, 2), соответствующую второму поставщику. Его запас равен 40, а оставшаяся потребность второго потребителя равна 5. Следовательно, x₂₂ = min {40, 5} = 5.

Теперь потребность первого потребителя полностью удовлетворена. Поэтому закрываем второй столбец и переходим в следующую клетку второй строки. Оставшийся запас второго поставщика равен 25, а потребность третьего потребителя равна 35. Следовательно, полагаемx₂₃ = min {25, 35} = 25. Закрываем вторую строку и переходим на следующую строку. Третьему потребителю требуется еще 10 единиц. Их ему может поставить третий поставщик, т.е.x₃₃ = min {50, 10} = 10.

Таблица 2

	25	30	35	40
50	4	2	5	0
	25	25
30	1	3	3	0
		5	25
50	5	4	2	0
			10	40

Оставшиеся 40 единиц получает четвертый потребитель: x₃₄ = min {40, 40} = 40. Нахождение опорного плана перевозок завершено (см. таблицу 2). Полученный план содержит 6 ненулевых элементов. Ранг матрицы задачи также равен 6 = 3+ 4–1. Поэтому найденный опорный план является невырожденным.

Из самого способа его построения вытекает сбалансированность плана перевозок по поставщикам и потребителям. Однако во избежание ошибок рекомендуется проверить балансы путем суммирования поставок по строкам и столбцам.

Определим затраты на перевозки на построенном опорном плане (значение целевой функции).

Z= 25·4 + 25·2 + 5·3 + 25·3 + 10·2 = 260.

Замечание. Возможна ситуация, когда на каком-то шаге одновременно исчерпывается запас у текущего поставщика и полностью удовлетворяется потребность текущего потребителя. Тогда нужно закрыть либо текущую строку, либо текущий столбец, а в следующую незанятую клетку записать 0 (нулевую поставку). В этом случае после окончания работы метода будет получен вырожденный опорный план.