§1. Постановка и свойства транспортной задачи

Описание ситуации.Некоторый однородный продукт (груз) сосредоточен вmпунктах отправления (производства) в количествах а₁, а₂, …,a_mединиц соответственно. Его нужно доставить вnпунктов назначения (потребления), подавших заявки на этот продукт в количествахb₁,b₂, …,b_nединиц соответственно. Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов, т.е. выполнено следующее условие:

=. (1)

Это условие гарантирует, что все заявки будут выполнены полностью и из каждого пункта отправления будет вывезен весь груз.

Известны тарифы (стоимости) c_ij() перевозки единицы груза изi‑го пункта отправления вj-й пункт назначения. Требуется найти план перевозок, который удовлетворяет заявки всех пунктов назначения и минимизирует суммарные затраты на перевозку.

Математическая модель.Для построения модели описанной выше ситуации, определим переменныеx_ij— количество груза, перевозимого изi-го пункта отправления вj-й пункт назначения (). Ясно, что они должны принимать неотрицательные значения. Множество всех переменных (план перевозок) задается в виде матрицыX = (x_ij), имеющей размерыmхn.

Сама математическая модель задачи нахождения плана перевозок с наименьшими суммарными затратами выглядит так:

, (2)

, (3)

, (4)

. (5)

Формула (2) задает правило подсчета общих транспортных затрат Z, необходимых для реализации плана перевозокX = (x_ij). Таким образом,Zявляется целевой функцией, и решается задача ее минимизации на множестве планов перевозок, задаваемом ограничениями модели (3) – (5).

Условие (3) показывает, что общее количество груза, вывезенное из любого пункта отправления должно равняться величине запаса этого пункта. Соответственно условие (4) показывает, что общее количество груза, доставленное в любой пункт назначения должно равняться потребности этого пункта.

Задача (2) – (5) называется транспортной задачей, а равенства (3) – (4) называютсяусловиями сбалансированностиплана перевозокX = (x_ij).

План перевозок X = (x_ij) (), удовлетворяющий соотношениям (3) – (5), называетсядопустимым планом задачи (2) – (5).

Допустимый план X^* = () называетсяоптимальным планом, если на нем общая величина затрат на перевозкиS(X^*) минимальна.

Транспортная задача называется закрытой (сбалансированной), если выполнено условие (1). Это условие обеспечивает существование оптимального решения задачи (2) – (5).

Теорема 1.Транспортная задача имеет оптимальный план тогда и только тогда, когда она является закрытой.

Если условие (1) не выполнено, то транспортная задача называется открытой.В этом случае ее можно свести к закрытой задаче путем введения фиктивного пункта отправления или назначения (см. решение задачи 1).

Допустимый план транспортной задачи называется опорным планом, если столбцы матрицы условий, соответствующие его положительным компонентам, линейно независимы. Известно, что максимальное число линейно независимых столбцов матрицы условий транспортной задачи равноm +n– 1. Поэтому опорный план не может иметь болееm +n – 1 положительных компонент. Если опорный план имеет ровноm +n – 1 положительных компонент, то он называетсяневырожденнымпланом, а если меньше, товырожденным.

Стандартный метод ее решения включает следующие пункты.

1. Построение начального опорного плана перевозок.

2. Проверка полученного плана на оптимальность. Если он не является оптимальным, то строится новый улучшенный план перевозок, на котором транспортные затраты меньше, или, по крайней мере, равны затратам предыдущего плана. Этот пункт повторяется до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Нахождение начального опорного плана может осуществляться различными способами. Наиболее простым в использовании является методсеверо-западного угла.

При проверке на оптимальность допустимого плана используется следующий критерий.

Теорема 2.Допустимый план перевозокX^* = () в транспортной задаче будет оптимальным тогда и только тогда, когда найдутся числаu₁,…,u_mиv₁, …,v_nтакие, что выполнены следующие соотношения:

v_j –u_i ≤ с_ij для всехi,j (6)

v_j –u_i = с_ij, если > 0. (7)

Числа u_iназываютсяпотенциалами пунктов отправления, аv_j — потенциалами пунктов назначения. Условия (6) и (7) означают, что разность потенциалов между двумя любыми пунктами отправления и назначения в оптимальном плане не должна превосходить затрат на перевозку единицы груза. Если же между пунктами осуществляется перевозка, то разность потенциалов между ними в точности равна затратам на перевозку единицы груза. Потенциалы могут интерпретироваться как цены продукции в этих пунктах.

С помощью этого критерия можно не только проверить на оптимальность любой план перевозок, но и указать способ улучшения неоптимального плана. Для этого обычно используется метод потенциалов.