Раздел 3
Теория погрешностей измерений
Лекция 6
Обработка результатов многократных измерений
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
121 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Основные постулаты метрологии:
1.истинное значение определенной
величины существует и оно постоянно;
2.истинное значение измеряемой величины
отыскать невозможно.
Результат измерения математически связан с измеряемой величиной вероятностной зависимостью.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
122 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Действительное значение физической величины
это значение физической величины, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что может быть использовано вместо него.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
123 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Что может быть использовано в качестве действительной величины?
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
124 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
На практике в качестве действительного значения принимается
математическое ожидание
измеряемой величины.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
125 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера производится при повышенных требованиях к точности измерений.
Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности и выполняются в основном сотрудниками государственной и ведомственных метрологических служб, а так же при тонких научных экспериментах.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
126 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Представим что мы провели n измерений величины Х и получили результаты
Х1, Х2, … Хi, … Хn
При многократных измерениях одной и той же величины и наличии случайных погрешностей результаты измерений также являются случайными величинами.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
127 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Функция распределения |
F(x) |
|
вероятностей F(x) – характеризует |
||
1,0 |
||
вероятность P появления тех или |
||
|
||
иных значений х. |
|
|
Функция распределения численно |
x |
|
равна вероятности того, что |
||
|
||
случайная точка Xi , в результате i-го |
|
|
измерения займет положение левее |
|
|
точки х. |
|
F(x)=P[xi<x]
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
128 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Дифференциальная функция распределения вероятностей
f(x) – плотность распределения. Ее график называется – кривой
распределения.
Основным очевидным свойством дифференциальной функции
распределения является
равенство единице площади под кривой распределения
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
129 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Математическое ожидание – наиболее вероятное
значение измеряемой величины
M[ X ] mx xPx x dx
M[ X ] mx 1 n xi n i 1
Случайная погрешность: =xi-mx
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
130 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Дисперсия распределения случайной погрешности
равна дисперсии результатов наблюдения и является
характеристикой их рассеивания относительно
математического ожидания. |
|
|
|
||
|
n |
|
n 0 |
|
|
Dx |
xi mx 2 |
|
i |
2 |
|
i 1 |
i 1 |
|
|||
n 1 |
n 1 |
||||
|
|
||||
Единицы измерения дисперсии не совпадают с единицами измерения измеряемой величины
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
131 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений арифметический корень из дисперсии.
|
n |
|
n 0 |
|
|
|
xi mx 2 |
|
i |
2 |
|
i 1 |
i 1 |
|
|||
n 1 |
n 1 |
||||
|
|
||||
Среднее квадратическое отклонение математического |
||||
ожидания |
|
|
||
mx |
|
|||
|
|
|||
n |
||||
|
|
|||
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
132 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Доверительный интервал –
это интервал откладываемый относительно математического ожидания измеряемой величины и характеризующий вероятность, с которой истинная величина попадет в этот интервал.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
133 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
m |
-ε |
p |
mx Xист m |
+ε |
|||
x |
|
|
|
x |
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p tp |
|
|
n |
||
|
tp – коэффициент зависящий от
закона распределения
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
134 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(распределение Гаусса) |
|
|
|
|
o 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x mx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
||
f x |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
e |
2 2 |
|
|
|
e2 2 |
|
|
e 2 |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
o |
|
- параметр распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Значения функции нормального |
|
|
|
|
|
|||||||||||
распределения определяются |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
численными методами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F z |
|
|
1 |
|
z |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
|
|
|
|
|||||||||||
доцент, к.т.н. |
Цыпин А.В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса)
Карл Фридрих Гаусс
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
136 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Центральная предельная теорема Чебышева:
Если случайная величина подвержена воздействию бесконечного числа бесконечно малых случайных факторов, то она имеет нормальное распределение.
Пафнутий Львович Чебышев
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
137 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса)
Для результатов измерения случайной величины при
определенных значениях mx и σ, можно определить:
z1 x1 mx , z2 x2 mx
•вероятность появления результатов меньше Х1
P[x x1]=F(z1)
•вероятность появления результатов больше Х2
P[x>x2]=1-F(z2)
• вероятность появления результатов в интервале Х1 – Х2
P[x1<x x2]=F(z2)- F(z1)
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
138 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса)
|
o |
|
68 погрешностей из ста (Р=0,68) |
| | |
|||
| |
o |
|
95 погрешностей из ста (Р=0,95) |
|
|||
| |
2 |
|
|
|
o |
|
3 погрешности из тысячи (P=0,997) |
| | 3 |
|||
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
139 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) Выводы:
1.Погрешности измерения (интервалы допустимой погрешности) зависят от того, с какой вероятностью мы хотим получить достоверный результат.
2.Для определения погрешности при заданном доверительном интервале и для определения этого интервала при заданной доверительной вероятности необходимо знать среднее квадратическое отклонение результатов измерения.
3.Функции нормального распределения дают связь между вероятностью попадания результатов измерения (доверительной вероятностью) в заданный интервал и величиной самого интервала, называемого доверительной границей случайного
отклонения.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
140 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса)
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) применим для большого количества измерений n>30
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
141 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Нормальный закон распределения (распределение Гаусса)
Требования к точечным оценкам:
1.Состоятельность - при увеличении числа опытов она должна приближаться к истинному значению измеряемой величины (должна сходиться по вероятности)
2.Несмещенность - ее математическое ожидание должно быть равно измеряемой величине
3.Эффективность - дисперсия используемой оценки должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
142 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента
применяют для расчета
доверительных интервалов для нормального распределения
измеряемой величины при числе
измерений менее 20
Уильям Сили Госсет
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
143 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Распределение Стьюдента
p tp |
|
|
tp – коэффициент Стьюдента |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|||
|
|
|
__ |
|
|
|
tp |
n |
X |
Xист |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
tp(n-1,P) – определяется численными методами и вносится в таблице как зависимость от числа
измерений и вероятности, для которой
расчитывается доверительный интервал.
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
144 |
|
Теория погрешностей измерений Обработка результатов многократных измерений
Распределение Стьюдента
Определение доверительного интервала
i |
t, oC |
1 |
120,50 |
2 |
119,90 |
3 |
120,40 |
4 |
120,70 |
5 |
119,80 |
6 |
120,10 |
|
|
P=0,9
n-1 |
|
|
|
tp/√n |
|
|
|
||
0.80 |
0.90 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
0.995 |
0.998 |
0.999 |
||
|
|||||||||
1 |
3.0770 |
6.3130 |
12.7060 |
31.820 |
63.656 |
127.656 |
318.306 |
636.619 |
|
2 |
1.8850 |
2.9200 |
4.3020 |
6.964 |
9.924 |
14.089 |
22.327 |
31.599 |
|
3 |
1.6377 |
2.35340 |
3.182 |
4.540 |
5.840 |
7.458 |
10.214 |
12.924 |
|
4 |
1.5332 |
2.13180 |
2.776 |
3.746 |
4.604 |
5.597 |
7.173 |
8.610 |
|
5 |
1.4759 |
2.01500 |
2.570 |
3.649 |
4.0321 |
4.773 |
5.893 |
6.863 |
|
6 |
1.4390 |
1.943 |
2.4460 |
3.1420 |
3.7070 |
4.316 |
5.2070 |
5.958 |
|
7 |
1.4149 |
1.8946 |
2.3646 |
2.998 |
3.4995 |
4.2293 |
4.785 |
5.4079 |
|
8 |
1.3968 |
1.8596 |
2.3060 |
2.8965 |
3.3554 |
3.832 |
4.5008 |
5.0413 |
|
9 |
1.3830 |
1.8331 |
2.2622 |
2.8214 |
3.2498 |
3.6897 |
4.2968 |
4.780 |
|
10 |
1.3720 |
1.8125 |
2.2281 |
2.7638 |
3.1693 |
3.5814 |
4.1437 |
4.5869 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=6 |
|
|
t 2,015 0,49 0,99 |
||
mx=120,4 |
p |
||||
σ=0,49 |
|
|
p |
||
|
|
|
|
|
|
tp(5; 0,9)=2,015 |
|
|
t=120,40 0,99 oC |
|
|
|
|
|
|
||
Электронный образовательный ресурс: «Метрология, стандартизация и сертификация» |
|
доцент, к.т.н. Цыпин А.В. |
145 |
|