Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)
.pdf
|
290 |
|
области аномальной |
n |
дисперсии |
β ≠ 0
1
0 |
ω01 |
ω02 |
ω |
Рис. 36.8
291
Лекция 37
5. Квантовая физика
5.1. Квантовые свойства электромагнитного излучения
Ряд оптических явлений не объясним с точки зрения волновой теории:
1.Тепловое излучение
2.Эффект Комптона
3.Фотоэффект
4.Спектры атомов
Для объяснения этих явлений необходимо рассматривать электромагнитное излучение как поток частиц – фотонов.
5.1.1. Характеристики фотонов
1. Скорость: в вакууме v = c, в среде
v
n – показатель преломления среды.
2. Энергия
ε hν
c |
, |
|
n |
||
|
||
|
|
ω |
hc |
|
λ |
||
|
;
h = 6,63∙10–34 Дж∙с; 2hπ 1,05 10 34 Дж с – постоянная Планка; здесь ν - ча-
стота, ω – циклическая частота, λ – длина волны.
3. Масса
|
|
|
ε mc |
2 |
m |
ε |
|
hν |
|
ω |
|
h |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
c |
2 |
|
c |
2 |
|
cλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
hν |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как m |
m |
|
, где m0 |
– масса покоя, а v |
= c, |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– масса покоя фотона равна нулю; фотон называют безмассовой частицей.
4.Импульс
p mc hν |
h |
|
2πh |
k , |
|||
c |
|
λ |
|
|
2πλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
k |
, |
|
|
k – волновой вектор.
292
Фотон – переносчик электромагнитного взаимодействия, истинно нейтральная частица (электрический заряд q = 0). Фотон – истинно элементарная частица, т. е. не имеет структуры.
5.1.2. Внешний фотоэффект
Внешний фотоэффект – явление приобретения электрического заряда телом при освещении его поверхности. Причина внешнего фотоэффекта – испускание электронов веществом под действием света.
Внешний эффект наблюдается у металлов. Вылетающие электроны – фотоэлектроны – это свободные электроны, находящиеся внутри металла в потенциальной яме (см. РАЗДЕЛ 6.4.1).
Опыты Столетова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема установки, на которой проводятся все |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опыты, показана на РИС. 37.1. Вакуумная трубка с |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
||
двумя электродами подключена к источнику по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоянного тока через потенциометр, с помощью |
К |
|
|
|
|
А |
|||||
|
|
|
|||||||||
которого регулируется напряжение на трубке |
|
|
|
||||||||
|
|
|
e– |
|
|
i |
|||||
(которое показывает вольтметр). На катод |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(электрод трубки, подключённый к отрица- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μA |
|
тельному полюсу источника) падает свет с дли- |
|
|
|
V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
ной волны λ. Ток, идущий в цепи трубки, изме- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряется микроамперметром. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если к трубке приложено напряжение прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярности (как показано на РИС. 37.1), то элек- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
троны, выбиваемые с катода, ускоряются элек- |
|
|
|
Рис. 37.1 |
|
|
|
||||
трическим полем и долетают до анода. В цепи |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
идёт фототок i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно приложить к трубке напряжение обратной полярности. Тогда электрическое поле внутри трубки будет задерживать электроны. При напряжении, большем некоторого значения Uз, электроны не достигают катода и фототок не идёт. Из закона сохранения энергии следует, что
m v |
2 |
|
|
e max |
|
2 |
eUз
,
где vmax – максимальная скорость фотоэлектронов при вылете с катода, me – масса электрона.
Опытные законы фотоэффекта
1.Фототок пропорционален интенсивности падающего света: i ~ I.
2.Фототок достигает насыщения
3.Существует красная граница фотоэффекта – частота ν0 (длина волны λ0) падающего излучения, при частотах ниже (длинах волн выше) которой фото-
эффект не наблюдается. Значение ν0 зависит от материала катода и состояния его поверхности.
4.Максимальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.
5.Фотоэффект практически безынерционен.
293
Демонстрация: Внешний фотоэффект на цинке Зависимость фототока от напряжения показана на РИС. 37.2.
Вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента
i
iнас
Uз |
0 |
U |
Рис. 37.2
Квантовая теория внешнего фотоэффекта
Из закона сохранения энергии следует, что энергия фотона расходуется на кинетическую энергию вылетающего электрона (её максимальное значение
Wк max |
m v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) и работу выхода A электрона с поверхности металла: |
|
|||||||||
e |
max |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hν |
m v |
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
e |
max |
|
(37.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Эйнштейна.
Работа выхода электрона из металла составляет единицы электрон-вольт.
1 электрон-вольт (эВ) равен энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов 1 В:
1 эВ = 1,60∙10–19 Дж.
Объяснение свойств внешнего фотоэффекта
1.Число фотоэлектронов пропорционально интенсивности падающего света.
2.Число фотоэлектронов ограничено.
3.Фотоэффект прекращается, когда максимальная скорость фотоэлектронов равна нулю:
vmax 0
hν |
A 0 |
0 |
|
ν |
0 |
|
|
|
A h
.
4.Из уравнения Эйнштейна (37.1) следует, что vmax = vmax(ν).
5.Соударение фотона и электрона настолько сильное, что электрон вылетает практически мгновенно.
5.1.3. Эффект Комптона
Эффект Комптона – изменение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии электронами вещества. Этот эффект наблюдается в результате столкновения фотона со свободным или почти свободным электроном (РИС. 37.3).
294
e–
hν
Рассмотрим замкнутую систему фотонэлектрон в системе отсчёта, в которой элек- θ hνˊ трон покоится. Импульс и механическая энергия этой системы сохраняются. Закон сохра-
нения импульса:
Рис. 37.3
|
|
(37.2) |
|
|
pф pф pe , |
|
|||
где pф |
– импульс фотона до соударения, |
|
– |
|
pф |
импульс фотона после соударения, pe – импульс электрона после соударения. Закон сохранения механической энергии:
hν |
m v2 |
|
|
|
e |
|
|
||
2 |
hν |
, |
(37.3) |
где ν – частота налетающего фотона, νˊ - частота рассеянного фотона, v – скорость электрона после соударения. Здесь мы полагаем v << c и описываем движение электрона нерелятивистскими формулами.
Считая угол рассеяния θ фотона (РИС. 37.3) известным, спроецируем уравнение (37.2) на координатные оси, выразив импульс и частоту фотона через длину волны. Из системы уравнений (37.2) и (37.3) получим выражение для длины волны рассеянного фотона
λ λ λ |
1 |
C |
|
здесь λ – длина волны налетающего фотона,
cos
λˊ -
θ ,
длина волны рассеянного фотона,
λ |
|
h |
2,425 10 |
12 |
м |
|
|
||||
C |
|
m c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
– комптоновская длина волны электрона.
5.1.4. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света
Каждой группе фотонов в классическом описании ставится в соответствие цуг
волны, характеризуемой напряжённостью электрического поля |
E |
стью магнитного поля H . |
|
Объёмная плотность энергии электромагнитного поля(см. 3.14.3)
и напряжённо-
w |
DE |
|
BH |
|
2 |
2 |
|||
|
|
ε εE |
2 |
|
|
0 |
|
.
Энергия электромагнитного поля в малом объёме dV dW wdV ,
но, с другой стороны,
dW NhνdP ,
где dP – вероятность попадания фотона в объём dV, N – общее число фотонов. Отсюда
w ~ dVdP
– классическая плотность энергии электромагнитного излучения определяет плотность вероятности попадания фотонов в данную область пространства.
295
Данная картина реализуется в виде изменяющегося в пространстве распределения интенсивности света (при большом числе фотонов).
Так как w ~ E2,
E |
2 |
~ |
dP |
|
|||
|
dV |
||
|
|
|
– квадрат модуля напряжённости электрического поля определяет плотность вероятности попадания фотона в данную область пространства.
5.2. Гипотеза де Бройля
Гипотеза де Бройля: корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т. е. все частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами.
Каждой движущейся частице можно поставить в соответствие волновой процесс
(волну де Бройля), который характеризуется длиной волны
|
|
λ |
h |
|
|
|
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и частотой |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ν |
W |
||
|
|
h |
||
|
|
|
|
;
здесь p – модуль импульса, W – энергия частицы.
Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет плотность вероятности обнаружения частицы в данной области пространства. Корпускулярные свойства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы в малом объёме.
ПРИМЕРЫ
1) Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Её длина волны де Бройля
|
h |
|
|
6,6 10 34 |
|
|
|
Å . |
||
λ |
|
|
|
|
|
|
10 |
34 |
м 10 24 |
|
mv |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
10 |
6 10 |
|
|
|
Волновые свойства частицы можно обнаружить благодаря явлению дифракции. Препятствия, на котором можно было бы обнаружить волновые свойства пули, не существует.
2) Электрон прошёл ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов
U = 150 В.
По закону сохранения энергии
m v |
2 |
|
|
e |
|
2 |
|
eU
,
здесь v – конечная скорость электрона. Импульс электрона
p m v |
2em U |
e |
e |
Длина волны де Бройля
.
296
λ |
h |
|
|
h |
|
|
|
|
6,6 10 |
34 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p |
2em U |
|
10 |
31 |
1,6 10 |
19 |
1,5 |
|||||||||
|
|
2 9,1 |
10 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,6 10 |
34 |
|
10 |
10 |
м 1 Å . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 |
24 |
2 |
9,1 1,6 1,5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Период кристаллической решётки твёрдого тела – порядка 1 Å. Можно наблюдать дифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке. Условие дифракционных максимумов
2dsinθ mλ sin
здесь θ – угол дифракции, d – период решётки,
θ
m –
mλ |
, |
|
2d |
||
|
целое число.
Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фотопластинке) будет случайным.
5.3. Соотношение неопределённостей Гейзенберга
В квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости, ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Корректность использования классических физических величины определяется соотношениями неопределённостей Гейзенберга.
Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих величин должны выполнятся соотношения
|
x |
px |
|
, |
|
||
|
|
|
|||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
py |
|
|
|
||
|
y |
|
, |
(37.4) |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
pz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(здесь x – неопределённость координаты x и т. п.)
Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными; например, энергия W и время t:
W
t
2
.
Соотношения неопределённостей являются оценочными.
ПРИМЕР
Пролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)
Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этого поставим на её пути ширму с щелью шириной x (РИС. 37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, px = 0, зато координата x совершенно не определена. В момент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:
px psinφ , |
xsinφ λ |
– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтому
|
|
|
297 |
|
|
|
|
|
|
||
sinφ |
λ |
, |
px p |
λ |
|
h |
λ |
, |
px |
x h. |
|
x |
x |
λ |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x
φ
x
Рис. 37.4
центральный максимум
298
Лекция 38
5.4. Квантовомеханическое описание движения частицы
5.4.1. Волновая функция
Волновая функция Ψ r
,t
описывает состояние частицы. Волновая функция мо-
жет быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:
Ψ2 dVdP
– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.
Свойства волновой функции
1.Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, t
2.Непрерывность производных
3.Интегрируемость при любых
4.Условие нормировки:
Ψx
x, y,
, Ψy , z, t
Ψz
при любых x, y, z, t
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ψ x, y,z |
dxdydz 1 |
||
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)
5.4.2. Изображение физических величин операторами
В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:
|
f Qφ . |
|
Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q : |
||
|
|
|
|
Qφ qφ |
. |
|
|
|
|
|
|
Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).
При измерении физической величины q, представляемой оператором
Q
, могут
получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.
Среднее значение q:
q Ψ*QΨdV ,
здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.
299
Важнейшие операторы физических величин
1.Оператор координаты
xψ x,
x x ; y,z xψ x,
y,z
73.
2.Оператор импульса
px i x ,
здесь i – мнимая единица.
3.Оператор момента импульса
p |
y |
i |
|
|
p i
Lr
y
,
p |
|
; |
|
|
|||
|
|
||
|
|
|
, pz i z ;
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
||
L |
|
x |
|
|
|
|
|
|
i |
||
|
|||
|
|
x |
|
|
|
L |
i |
|
y |
|
z |
|
|
|
z |
y |
|||||
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
y |
||
i |
|
||
y |
|||
|
|
||
|
i |
|
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
||
|
y |
|
||
y |
z |
|||
|
|
;
и т. д.
4.Оператор кинетической энергии
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
x |
|
y |
z |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
T |
p |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
2m |
2m |
|
p |
p |
|
p |
|
2m |
|
2m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
здесь |
|
2 |
– оператор Лапласа, m – масса частицы. |
|
||||||||||||||
|
|
5.Оператор полной энергии – гамильтониан
,
H T U x, y,z,t ,
U x, y,z,t – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.
5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин
Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B
A,B AB BA.
Операторы A и B коммутируют, если
A,B 0 ,
т. е. AB BA.
73 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).