150
Доказательство47 (вывод из закона Кулона)
Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда
S
|
б |
|
|
|
|
Рис. 19.6 |
|
|
|
Элементарный поток |
|
|
|
|
dΦ EdS |
qcosα |
dS |
|
4πε r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS
(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:
dΦ qdΩ .
4πε0
Проинтегрируем по полному телесному углу:
Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:
47 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:
в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.
|
|
|
q |
|
|
|
q |
S |
EdS Ei dS EidS |
i |
|
|
|
ε |
|
ε |
|
|
S |
S |
S |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать зада-
чу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.
Случаи использования теоремы Остроградского-Гаусса |
Сферическая |
Цилиндрическая |
Плоская |
(центральная) |
(осевая) |
симметрия |
симметрия |
симметрия |
распределения |
распределения |
распределения |
заряда |
заряда |
заряда |
(размеры области про- |
|
|
|
(протяжённость области |
странства, содержащей за- |
|
пространства, содержащей |
ряд, в плоскости симмет- |
|
заряд, вдоль оси симмет- |
рии много больше попе- |
|
рии много больше её попе- |
речного размера этой об- |
|
речных размеров) |
ласти) |
ПРИМЕРЫ
1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы
|
|
|
|
Сфера радиуса R равномерно заряжена за- |
|
|
|
|
рядом Q (РИС. 19.7). Найти зависимость |
|
|
|
I |
напряжённости электрического поля от рас- |
Q |
|
II |
SII |
SI стояния r от центра сферы Er(r)48. |
|
|
|
|
Заряд распределён сферически симметрич- |
|
|
O |
R |
но. В каждой точке пространства напряжён- |
|
|
ность электрического поля E направлена |
|
|
r |
|
|
B |
|
радиально. |
|
|
|
|
|
|
r |
Будем выбирать поверхности интегрирова- |
|
|
|
ния в виде сфер радиуса r,где r – расстояние |
|
|
|
|
|
|
|
A |
от центра сферы до точки, где измеряется |
|
|
|
напряжённость поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьём пространство на две области – вне |
|
|
|
|
сферы и внутри сферы. Вид зависимости |
|
|
|
|
Er(r) в этих областях должен быть различ- |
|
|
Рис. 19.7 |
ным. |
48 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.
I. r > R
Теорема Остроградского-Гаусса:
Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)
напряжённость электрического поля EI
накова. Вектор внешней нормали |
dSI |
направлена радиально, а по модулю оди-
сонаправлен |
EI |
. Поток напряжённости |
электрического поля
EIdSI EIrdSI cos0 EIr dS |
S |
I |
S |
I |
1 |
S |
I |
|
|
|
Заряд, охваченный поверхностью SI,
– весь заряд заряженной сферы. Получим
II. r < R
Теорема Остроградского-Гаусса:
|
EIIdSII |
q |
S |
|
|
|
II |
. |
|
|
|
S |
|
|
ε |
|
|
|
II |
|
0 |
|
|
|
Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфе-
ре (РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,
Заряд, охваченный поверхностью SII, |
|
|
|
q |
S |
0 |
, |
|
|
|
|
II |
|
|
так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому
EIIr 0.
График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.
При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.
S
Рис. 19.9
153
Er
Рис. 19.8
2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити
|
|
|
Бесконечно длинная прямая нить равно- |
|
|
τ |
мерно заряжена с линейной плотностью |
|
|
|
τ (РИС. 19.9). Найти зависимость напря- |
|
|
|
жённости электрического поля от рас- |
|
|
B |
стояния r от нити Er(r). |
|
|
|
|
|
|
|
Распределение |
заряда |
|
имеет осевую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
симметрию. Теорема |
|
Остроградского- |
h |
Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
q |
|
|
|
|
|
|
EdS |
|
|
|
|
S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r – расстояние от нити до точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 19.9) и произвольной вы-
соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направ-
лены: для боковой поверхности dSбок
ности электрического поля |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π |
EdS EdSбок 2 |
EdSторц ErdSбок cos0 2 |
|
ErdSторц cos |
|
S |
Sбок |
Sторц |
Sбок |
Sторц |
|
2 |
|
|
|
|
Er dSбок Er Sбок Er 2πrh.
Sбок
Заряд, охваченный поверхностью S,
q S τh
– заряд участка нити длиной h. Получим
E |
2πrh τh |
E |
|
|
τ |
. |
r |
|
r |
ε |
|
|
2πε r |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
154
Результат не зависит от h, как и должно быть. Это же решение было получено нами методом суперпозиций (см. РАЗДЕЛ 3.2.3).
График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.10.
Er
Рис. 19.10
155
Лекция 20
3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)
3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).
σ
C
B A
S
Рис. 20.1
Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса
Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра высотой
ната точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой по-
верхности dSбок E , для торцов поля
. Поток напряжённости электрического
EdS EdSбок 2 |
EdSторц |
ExdSбок cos |
π |
2 |
ExdSторц x cos0 |
S |
Sбок |
Sторц |
Sбок |
|
2 |
Sторц |
|
|
|
|
2E dSторц 2ESторц .
Sторц
Заряд, охваченный поверхностью S,
q S σSторц
– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим
|
|
|
σS |
|
2ES |
|
торц |
торц |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x 0:E |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0:E |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.
Ex
Рис. 20.2
Демонстрация: Сетка Кольбе
3.2.4. Потенциал
I уравнение Максвелла для электростатического поля
Умножим это уравнение на пробный заряд q0:
0 |
|
Edl |
|
0 |
|
1 |
q |
|
|
q Edl |
|
F dl 0 |
|
L |
|
L |
|
L |
|
– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатиче-
ское поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).
[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4).]
Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:
Wп Aполя A* .
Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:
49 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.
Wп f q0 ,E .
не зависит от q0 и является энергетической характеристикой по-
[φ] = В.
Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физиче-
ский смысл имеет разность потенциалов
|
|
|
поля |
|
* |
φ |
φ φ |
A |
|
A |
1 2 |
1 2 |
12 |
2 |
1 |
q |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.
Связь напряжённости и потенциала электростатического поля
Работа электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2
|
|
2 |
1 |
2 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
поля |
|
|
F dl |
|
q Edl q |
|
Edl |
A |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
разность потенциалов
интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.
Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
Edl |
|
E |
|
dl |
, |
|
|
12 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
Edl |
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
E |
dl |
|
|
|
φ 0 |
|
φ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– потенциал поля в точке 1. Элементарная работа поля
δAполя F1dl q0 Edl ;
элементарное приращение потенциала
– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-
|
ского поля (определение вектора градиента φ |
dφ |
см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5). |
|
dl |
|
|
|
Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.
Так как |
E gradφ , вектор напряжённости электрического поля перпендикуля- |
рен эквипотенциальным поверхностям.
ПРИМЕР
Потенциал поля точечного заряда
Напряжённость электрического поля точечного заряда q
|
|
E |
|
q |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3). |
|
|
|
q |
|
|
|
Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно уда- |
|
|
|
|
|
|
|
лённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле инте- |
|
r |
|
гральной связи напряжённости и потенциала проведём |
|
|
|
|
|
|
по радиальной прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
Рис. 20.3 |
r |
r |
|
r |
q |
dr2 |
q |
1 |
q |
|
φ Edr Erdr |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
4πε |
r |
4πε r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:
Доказательство
Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля
Интегральная связь напряжённости и потенциала
A |
A |
Ei dl |
A |
Eidl φi , ч. т. д. |
φ |
Edl |
|
φ 0 |
φ 0 |
|
φ 0 |
Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость – векторная.
159
ПРИМЕР
1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца
По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).
Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:
|
Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина- |
z |
|
ково для всех элементов dq; |
|
|
Проинтегрируем выражение для потенциала по q:
|
Q |
|
dq |
|
|
|
Q |
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
0 |
4πε |
R |
2 |
2 |
4πε |
R |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Найдём напряжённость электрического поля как функцию z |
R |
|
через дифференциальную связь напряжённости и потенци- |
O |
|
ала: |
|
|
( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость
электрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;
|
|
|
|
|
Q |
|
|
1 |
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
dφ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Qz |
|
|
. |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
4πε |
|
R |
2 |
z |
2 |
|
|
4πε |
|
R |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .
2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити
|
Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с |
τ |
|
линейной плотностью τ (РИС. 20.5). Найти зависимость по- |
|
тенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r). |
|
|
Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо- |
|
|
сти электрического поля этой системы |
|
|
Er |
τ |
r |
|
|
|
|
2πε r |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0 от нити50;
50 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.