Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Ширина интерференционной полосы – расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами. В схеме Юнга она одинакова по всему полю интерференции и равна

Y λLd .

Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и тёмных

4.1.3. Интерференция в тонких плёнках

Волна от некогерентного источника может разделяться на когерентные волны через отражение и преломление на границах раздела сред, расположенных настолько близко друг от друга, чтобы соблюдались условия когерентности (4.1.4). Рассмотрим три варианта данной схемы.

1. Плоскопараллельная пластинка

Пусть плоская волна длиной λ падает из воздуха (n = 1) на плоскопараллельную пластинку толщиной h, состоящую из вещества с показателем преломления n, под углом i (РИС. 34.6). На первой границе раздела сред (в точке A) падающая волна 0 частично отражается (волна 1), а частично – преломляется (волна 2) и проходит через границу. Затем волна 3 частично отражается от второй границы раздела сред – нижней стороны пластинки в точке B, падает на верхнюю сторону пластинки и проходит через неё, преломляясь, в точке C. Волны 1 и 2 когерентны, так как образованы из одной падающей волны 1 (если толщина пластинки не слишком велика, см. РАЗДЕЛ 4.1.4).

B

Рис. 34.6

Оптическая разность хода волн 1 и 2

чески более плотной среды – вещества пластинки (см. РАЗДЕЛ 3.14.7). Найдём длины всех отрезков, входящие в эту формулу:

Углы падения i и преломления r связаны по закону Снеллиуса

Если осветить плёнку белым (немонохроматическим) светом, то она будет окрашена в цвет, для длины волны, соответствующей которому, при данной оптической разности хода будет выполняться условие интерференционных максимумов. Если плёнка имеет переменную толщину, то она будет окрашена в разные цвета.

2. Тонкий клин

На клин с малым углом β нормально падает свет с длиной волны λ. Клин сделан из материала с показателем преломления n (РИС. 34.7).

На верхней поверхности клина падающая волна 0 разделяется на две: отражённую волну 1 и прошедшую волну 2. Волна 2 частично отражается от нижней поверхности клина, падает на верхнюю поверхность и проходит сквозь неё. Если толщина клина h не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. (Так как угол β мал, все отражённые и преломлённые волны направлены по нормали к поверхностям клина. На РИС. 34.7 лучи 0, 1 и 2 изображены раздельно, на самом деле они проходят через одни и те же точки.)

Рис. 34.7

Оптическая разность хода волн 1 и 2, интерферирующих на верхней поверхности клина на расстоянии x от его вершины O,

чески более плотной среды. Толщина клина на расстоянии x от его вершины

Интерференционная картина на поверхности клина представляет собой чередование тёмных и светлых полос, параллельных ребру клина.

3. Кольца Ньютона

Плоско-выпуклая линза (радиус выпуклой поверхности R) лежит на плоской стеклянной пластинке. Система освещается светом с длиной волны λ так, как показано на РИС. 34.8. Волна 0, падающая на сферическую поверхность линзы, разделяется на две волны: отражённую 1 и прошедшую 2. Волна 2, в свою очередь, частично отражается от верхней поверхности плоской пластинки, а затем проходит сквозь сферическую поверхность линзы. Если толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. Эти волны затем собираются (например, оптической системой микроскопа) и дают интерференционную картину, имеющую вид концентрических колец.

Оптическая разность хода волн 1 и 2

δ 2h 2λ ,

273

где h – толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой. Дополнительная

– радиус m-го светлого кольца; m = 0, 1, 2, …

Условие интерференционных минимумов (тёмных колец):

r

h

Рис. 34.8

274

В центре интерференционной картины наблюдается тёмное пятно (при h = 0

Демонстрация: Интерференция в тонких плёнках

Все рассмотренные выше схемы получения когерентных волн можно реализовать и в проходящем свете: падающая волна проходит через первую поверхность тонкой плёнки, отражается от второй, а затем от первой, наконец, проходит через вторую поверхность.

4.1.4. Пространственная и временная когерентность

Реальная электромагнитная волна, излучаемая в течение конечного промежутка времени, не является монохроматической. Спектр её циклических частот имеет конечную ширину ω. Такую волну можно считать монохроматической в течение времени

τког – время когерентности. Волна с циклической частотой ω и фазовой скоростью v распространяется за это время на расстояние

Критерий Рэлея: интерференционная картина остаётся ещё различимой до максимумов порядка m0 для света с длиной волны λ + λ (Δλ > 0), который накладывается на ближайший к нему минимум для света с длиной волны λ.

Выразим m0:

m0 λ λ 2m0 1 2λ m0 2λλ .

Соответствующая критерию Рэлея оптическая разность хода интерферирующих волн, т. е. оптическая разность хода, при которой интерференционная картина различима,

Таким образом мы вывели формулы (34.3) и (34.4), выразив λ через ω из (34.5).

276

Волны, приходящие в точку M из разных точек щели, когерентны, поэтому в результате интерференции они могут либо усиливать, либо ослаблять друг друга. Проблема качественного анализа дифракционной картины и расчёта интенсивности света решается методом зон Френеля.

Зона Френеля – область волнового фронта, такая, что разность фаз волн, испускаемых вторичными источниками на границах этой области, равна π (разность хода

B

Рис. 35.2

Построим зоны Френеля для прямоугольной щели шириной b. Оптическая разность хода между волнами, идущими под углом α к оси системы из крайних точек щели,

δ AC bsinα

(РИС. 35.2). Число зон Френеля, которые помещаются на щели,

n AC 2bsinα .

λ λ

2

λ

Зоны Френеля для щели имеют форму полос шириной 2sinα . Соответственно,

площади всех зон одинаковы. Поэтому амплитуды волн, испускаемых каждой зоной, также одинаковы:

Амплитуда результирующего колебания в точке M, по принципу суперпозиции полей, складывается из амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами, с учётом направления светового вектора. Так как волны из соседних зон приходят в противофазе, то соответствующие световые векторы направлены противоположно друг другу и их проекции (амплитуды соответствующих колебаний) суммируются с разными знаками:

Для нечётного числа зон Френеля EΣ = E, для чётного числа зон EΣ = 0. Получается, что если щель открывает нечётное число зон Френеля, то в точке M наблюдается интерференционный максимум, а если чётное – то минимум.

При чётном n

– условие минимумов при дифракции света на щели.

При нечётном n

– условие максимумов при дифракции света на щели.

Можно вывести формулу для распределения интенсивности при дифракции света на щели

где I0 – интенсивность волны, падающей на щель. График зависимости I(α) представлен на РИС. 35.3.

I

ширина нулевого максимума

Рис. 35.3

278

Демонстрация: Дифракция на щели

4.2.3. Дифракционная решётка

Дифракционная решётка – периодическая структура, состоящая из прозрачных и непрозрачных участков (РИС. 35.4).

Френеля, каждая точка щели является источником сферических вторичных волн. За решёткой располагается линза Л. В фокальной плоскости линзы расположен экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. Расстояние от решётки до линзы и экрана много больше периода решётки. Волны, выходящие из решётки под углом φ, фокусируются на экране в точке M (РИС. 35.5).

Рис. 35.5

Проанализируем, какая картина будет наблюдаться на экране Э.

1.Волны, исходящие от сходственных

2.Главные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель не посылает свет:

bsinα kλ ,

k = ±1, ±2, … Это условие минимумов при дифракции света на одной щели.

279

3.Побочные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель посылает свет, но в совокупности амплитуда колебаний равна нулю:

где I0 – интенсивность падающей волны. График зависимости I(φ) представлен на РИС. 35.7. Красной штриховой линией изображён график зависимости интенсивности света от угла дифракции φ при дифракции на одной щели (35.1)70.

I

главные максимумы

N – 1 побочных максимумов

главные минимумы

Рис. 35.7

Амплитуда напряжённости электрического поля в главных максимумах равна сумме амплитуд волн, излучаемых каждой щелью по отдельности,

а интенсивность света пропорциональная квадрату амплитуды колебаний:

I N2I1 ,

где I1 – интенсивность света от одной щели. Чем больше число щелей в решётке, тем больше интенсивности приходится на главные максимумы и меньше – на по-

70 График функции (35.1) на РИС. 35.7 изображён так, что он является огибающей графика функции (35.2) (при той же ширине b щели). На самом деле при одинаковой интенсивности I0 падающего света площади под обоими графиками должны пропорциональны суммарной площади щелей, так как дифракция приводит лишь к перераспределению энергии электромагнитного поля в пространстве, но не изменяет её суммарного значения.