Задание 9. Матричные игры
Матричная игра представляет собой математическую модель ситуации, когда каждому из двух участников (игроков) необходимо выбрать свою оптимальную стратегию поведения с учетом возможных стратегий другого участника. Пусть у первого игрока имеется m вариантов принятия решения {1,2,…,m}, у второго – n вариантов {1,2,…,n}. Величина cij обозначает выигрыш первого игрока, если он выбрал вариант i, а второй игрок выбрал вариант j. Эта же величина является проигрышем второго игрока (очевидно, второй игрок выигрывает, если cij < 0).
Смешанной стратегией первого игрока является вектор x = (x1,x2,…,xm), такой, что x1,x2,…,xm ≥ 0 и x1 + x2 +…+xm = 1. По смыслу смешанная стратегия является вероятностным распределением на множестве чистых стратегий. Аналогично определяется смешанная стратегия второго игрока: y = (y1,y2,…,yn). Для определения оптимальных смешанных стратегий необходимо решить следующую пару двойственных задач ЛП.
|
|
|
|
|
|
Из теории двойственности следует, что u* = v*. Эта величина называется ценой игры и представляет собой математическое ожидание выигрыша первого игрока.
Варианты заданий. Для заданной матрицы выигрышей решить игру в смешанных стратегиях, найти цену игры.
|
1) –24 –12 –17 19 –10 15 11 18 23 20 –16 22 Ответ: x* = (0; 0,65; 0,35); y* = (0,45; 0; 0,55; 0); u* =1,55. |
2) 14 23 –21 24 23 15 13 24 20 10 16 18 Ответ: x* = (0; 0,75; 0,25); y* = (0; 0,375; 0,625; 0); u* =13,75. |
3) 24 24 19 11 22 –24 13 12 10 24 19 22 Ответ: x* = (0,48; 0; 0,52); y* = (0,44; 0; 0; 0,56); u* =16,72.
|
|
4) 12 10 10 –17 11 10 24 10 21 –18 –20 18 Ответ: x* = (0; 1; 0); y* = (0; 0,65; 0; 0,35); u* = 10. |
5) 24 22 12 11 20 16 12 15 10 –20 –13 –22 Ответ: x* = (0,75; 0,25; 0); y* = (0; 0; 1; 0) ; u* =12. |
6) 22 –20 11 –11 19 –19 18 –15 15 15 12 16 Ответ: x* = (0; 0,075; 0,925); y* = (0; 0,15; 0,85; 0); u* =12,45.
|
|
7) 20 13 14 12 10 24 13 15 14 16 –17 24 Ответ: x* = (0,5; 0,5; 0); y* = (0; 0; 0,75; 0,25); u* = 13,5. |
8) –21 15 –24 19 –11 11 24 17 13 –15 –17 17 Ответ: x* = (0; 0,56; 0,44); y* = (0,52; 0,48; 0; 0); u* = – 0,44. |
9) 10 13 22 21 10 10 –24 14 18 11 15 13 Ответ: x*= (0,7; 0; 0,3); y* = (0,2; 0,8; 0; 0); u* =12,4.
|
|
10) 23 11 23 23 23 13 17 17 20 18 15 18 Ответ: x*= (0,2; 0; 0,8);
y*
=
(0
u* = 16,6.
|
11) 17 17 –15 11 –11 11 15 22 24 18 19 13 Ответ: x* = (0; 0,25; 0,75); y* = (0,2; 0; 0; 0,8); u* = 15,25. |
12) –16 –23 10 19 17 23 15 –24 14 –23 24 20 Ответ:
x*
=
(0;
y*
=
(0;
u*
=
|
|
13) 10 –14 18 –19 24 13 18 13 21 20 –10 11 Ответ: x* = (0 1 0);
y*
=
(0;
u* = 13. |
14) –22 –14 10 14 –12 –10 19 –12 23 13 23 11 Ответ:
x*
=
( y* = (0; 0,1; 0; 0,9); u* =11,2.
|
15) –10 10 20 20 23 16 18 15 11 –15 15 19 Ответ: x* = ( 0,1; 0,9; 0);
y*
=
(0;
u*
=
|
|
16) 10 12 19 23 –17 15 13 19 16 16 18 –11 Ответ: x* = (0,675;0;0,325); y* = (0,85; 0; 0; 0,15); u* =11,95. |
17) 22 13 19 –16 –23 13 15 23 24 16 18 –10 Ответ: x* = (0; 0,425; 0,575); y* = (0,4125; 0;0; 0,5875); u* = 4,025.
|
18) 14 12 17 10 11 20 16 12 –14 14 12 12 Ответ: x* = (0,2; 0,8; 0); y* = (0,4; 0; 0; 0,6); u* = 11,6. |
|
19) 15 15 12 12 –14 22 13 23 14 23 17 18 Ответ: x* = ( 0;5 0 0;5);
y*
=
( u* = 14,5. |
20) 11 21 –17 23 –10 11 22 –12 –15 –16 15 11 Ответ:
x*
=
( y* = (0,65; 0; 0,35; 0); u* = 1,2. |
|
;
;0);
;
);
;
0;
);
.
;
0;
);
;
0;
);
;
0;
);
.
;
0;
;0);
;
;
0);