Задание 3. Метод искусственного базиса
Если задача ЛП (1)-(3) не является стандартной, то для преобразования ее к приведенному виду необходимо:
а) Преобразовать
каждое ограничение в виде неравенства
в равенство путем введения вспомогательных
переменных, например,
преобразуется к виду
,
при этом добавляется ограничениеxn+i
≥ 0. Каждую
переменную произвольного знака
представить в виде разности двух
неотрицательных переменных. Полученная
таким образом задача называется
канонической.
б) Каноническую задачу преобразовать в приведенную методом искусственного базиса. Для этого в каждое ограничение добавляется искусственная базисная переменная ti ≥ 0 . При полученной системе ограничений симплекс-методом находится минимум функции h(x,t) = t1+…+tn. Если h*(x,t) > 0, то нет такого допустимого решения, при котором все ti равны нулю, поэтому в исходной задаче допустимая область пуста. Иначе исходную задачу можно привести к специальному виду следующим образом: в получившейся после решения вспомогательной задачи таблице путем симплексных преобразований вывести из базиса все искусственные переменные и удалить соответствующие им столбцы. Затем выразить исходную целевую функцию через небазисные переменные. Полученную задачу решить симплекс-методом.
Варианты заданий. Преобразовать к приведенному виду и решить задачу ЛП.
|
1) x1+14x2+2x3 → min 6x1 + 3x2 +7x3 ≥ 14 11x1 –13x2 + x3 ≥ 10 2x1+ 2x2 +2x3 ≥ 8 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 11; x* = (0,6; 0; 3,4).
|
2) 10x1 + 7x2 + 10x3→min 10x1 + 5x2 + x3 ≥ 5 4x1 +10x2 +12x3 ≥ 14 12x1+ x2 + 4x3 ≥ 10 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 15; x* = (0,5; 0; 1). |
3) 3x1 + 2x2 + 14x3→min 5x1 + 4x2 + 14x3 ≥ 14 –2x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 15 8x1 – 10x2 – 8x3 ≥ 21 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 85,5; x* = (19,5; 13,5; 0). |
|
4) 2x1+13x2+6x3 → min 5x1+14x2+7x3 ≥ 21 9x1+ 8x2 + x3 ≥ 11 7x1+ 4x2 + 5x3 ≥ 10 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 8,4; x* = (4,2; 0; 0). |
5) 7x1 + 9x2 + 4x3→min 12x1 – 3x2 + 4x3 ≥ 10 15x1 +10x2 + 5x3 ≥ 22 12x1 + 6x2 + 9x3 ≥ 18 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 10,4; x* = (1,44; 0; 0,08).
|
6) 2x1+15x2+13x3→min 11x1+4x2+ 9x3 ≥ 9 10x1+ x2 – 2x3 ≥ 21 9x1+4x2+14x3 ≥ 6 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 4,2; x* = (2,1; 0; 0). |
|
7) 10x1+7x2+15x3 → min 15x1+ 3x2+ x3 ≥ 21 11x1+ 2x2+6x3 ≥ 13 5x1+13x2+6x3 ≥ 19 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 19; x* = (1,2; 1; 0). |
8) 7x1+ 6x2 + 9x3 → min 14x1 +13x2 + 2x3 ≥ 21 x1 + 4x2 + 5x3 ≥ 14 3x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 23 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 56,2; x* = (6,4; 1,9; 0).
|
9) 5x1 + 9x2+ 3x3 → min 14x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 6 5x1 + 3x2 +14x3 ≥ 7 12x1 + 6x2 +12x3 ≥ 12 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 3,4; x* = (0,2; 0; 0,8). |
|
10) 7x1 + 2x2 +14x3 → min 2x1 + 12x2 + 8x3 ≥ 13 14x1 + x2 + 2x3 ≥ 7 13x1 + x2 + 6x3 ≥ 12 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 41/6; x* = (0,7; 29/30; 0).
|
11) 3x1 + 5x2 + x3→ min 9x1+ 6x2 + 3x3 ≥ 15 12x1+14x2 + 5x3 ≥ 8 –10x1+ 2x2 + 5x3 ≥ 20 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 5; x* = (0,2; 0; 4,4).
|
12) 3x1+ 8x2 + 9x3 → min 18x1 + 6x2 – 9x3 ≥ 27 2x1+12x2+14x3 ≥ 17 –4x1+12x2+ 4x3 ≥ 14 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 19,2; x* = (0,8; 2,1; 0). |
|
13) 4x1+15x2+15x3 → min 11x1 + 4x2+ 5x3 ≥ 13 3x1 + x2+15x3 ≥ 12 4x1 + 6x2+ 5x3 ≥ 14 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 15⅓; x* = (3⅓; 0; 2/15 ) |
14) 15x1+5x2+2x3 → min 4x1+ 4x2 – 4x3 ≥ 11 13x1+15x2 +11x3 ≥ 18 –4x1 – 4x2 + 9x3 ≥ –7 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 19,35; x* = (0; 3,55; 0,8).
|
15) 4x1+10x2+13x3 →min 6x1+ 6x2 + 4x3 ≥ 8 15x1+ 7x2 + 3x3 ≥ 15 x2+14x3 ≥ 14 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 22,3; x* = (0,7; 0; 1,5).
|
|
16) 8x1+4x2+15x3→ min 14x1+4x2+13x3 ≥ 15 –2x1+ 4x2+ 2x3 ≥ 16 8x1–10x2 –7x3 ≥ 23 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 226; x* = (21; 14,5; 0). |
17) 9x1 + 9x2+12x3 → min –5x1 +15x2 +14x3 ≥ 8 13x1 + x2 + 4x3 ≥ 8 x1+ 16x2 + 9x3 ≥ 7 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 11,52; x* = (0,56; 0,72; 0).
|
18) x1+ 2x2+ 3x3 → min 5x1 – 2x2+11x3 ≥ 14 8x1 + 2x2+11x3 ≥ 12 x1+12x2+ 9x3 ≥ 12 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 3,92; x* = (0; 0,04; 1,28). |
|
19) 11x1 +13x2+14x3→ min 13x1 + 2x2 +3x3 ≥ 24 –6x1 + 13x2+15x3 ≥ 5 5x1 + 6x2+15x3 ≥ 24 x1, x2, x3 ≥ 0.
Ответ:
f
*
=
x* = (1,6; 0; 16/15).
|
20) 4x1 + 4x2 + 5x3→ min –5x1 + 8x2 – 9x3 ≥ 17 5x1 + 5x2 +10x3 ≥ 16 13x1+10x2+ 14x3 ≥ 20 x1, x2, x3 ≥ 0. Ответ: f * = 11,768; x* = (0; 2,512; 0,344).
|
|
;