Задание 4. Двойственная задача лп

Пусть задача ЛП задана в постановке (1)-(3), причем все ограничения в виде неравенств приведены к виду Двойственной к ней называется задача ЛП, построенная по следующим правилам:

• Количество переменных равно m, обозначим их y₁,…,y_m. Целевая функция выглядит как

• Каждому ограничению соответствует условиеy_i ≥ 0.

• Каждому ограничению соответствует условие “y_i произвольного знака”.

• Каждому ограничению x_j ≥ 0 соответствует

• Каждому условию “x_j произвольного знака” соответствует

Ограничения, соответствующие друг другу, называются сопряженными.

Известно, что если одна из пары двойственных задач разрешима, то разрешима и другая, причем оптимальные значения целевых функций совпадают. Для решения двойственной задачи можно воспользоваться симплекс-методом. Если уже известно решение прямой задачи, то значения y₁,…,y_m можно также найти с помощью условий дополняющей нежесткости (УДН): решения x и y являются оптимальными тогда и только тогда, когда в каждой паре сопряженных ограничений хотя бы одно выполнено как равенство. Необходимо выписать все эти равенства и решить полученную систему линейных уравнений относительно y₁,…,y_m.

Варианты заданий. Поставить и решить двойственную задачу ЛП для задания № 2. Для проверки убедиться, что решение является допустимым и оптимальное значение целевой функции совпадает с оптимумом прямой задачи.

Задание 5. Двойственный симплекс-метод

Если задача приведена к специальному виду, но симплексная таблица оказалась недопустимой (некоторые из b_i меньше нуля), но все коэффициенты c₁,…,c_n неотрицательны, то для решения такой задачи вместо метода искусственного базиса можно использовать двойственный симплекс-метод. По сути он является применением обычного симплекс-метода к двойственной задаче. Симплексная таблица записывается в виде

	x0	x1 x2 . . . xn
f	c0	c1 c2 . . . cn
x1 x2 ... xn	0 0 ... 0	–1 0 . . . 0 0 –1 . . . 0 . . . 0 0 . . . –1
xn+1 ... xn+m	b1 ... bm	a11 a12 . . . a1n . . . am1 am2 . . . amn

Элементы таблицы будем обозначать через α_ij , где i = 0,…,n+m обозначает номер строки, а j=0,…,n обозначает номер столбца.

Алгоритм двойственного симплекс-метода

Шаг 0. Начать работу с двойственно допустимой симплекс-таблицы.

Шаг 1. Проверка оптимальности: если все элементы столбца x₀ неотрицатель-

ны, то базисное решение оптимально.

Шаг 2. Проверка неразрешимости: если существует строка p, такая, что α_p0 < 0 и

α_pj ≥ 0 для всех столбцов j=1,…,n, то в задаче нет допустимых решений.

Шаг 3. Выбор ведущей строки: выбрать p так, что α_p0 < 0.

Шаг 4. Выбор ведущего столбца: выбрать q ≠ 0 так, что отношение α_0q /α_pq

максимально среди всех столбцов, где α_pq < 0.

Шаг 5. Пересчет таблицы:

ведущий столбец делится на (– α_pq ), ведущий элемент заменяется на –1;

из каждого столбца j ≠ q вычитается ведущий, умноженный на α_pj /α_pq.

Варианты заданий. Решить двойственным симплекс-методом задачу задания №3.