3.2. Доказательства и выводы в логике высказываний

Формализация процессов доказательств и выводов в логике высказываний имеет большое практическое значение и позволяет построить схемы доказательств, которые могут быть реализованы на ЭВМ. Доказательство в логике высказываний строится на отношении порядка, которое является общим случаем отношения эквивалентности. Логика высказываний является расширением логики Буля, поэтому все истинные тождества логики Буля автоматически становятся справедливыми клаузами логики высказываний. Таким образом, независимая система аксиом логики Буля автоматически становится системой аксиом и логики высказываний.

Однако в качестве основной аксиомы логики высказываний, выражающей отношение порядка, следует взять какое-то одно элементарноевысказывание, к которому можно было бы сводить все остальные более сложные высказывания. В качестве основной аксиомы логики высказываний введем клаузу

АВ → А, (2)

которая означает: «если А истинно, то источником этой истинности может быть что угодно, например В». Если произвести эквивалентное преобразование, то получим

А , В А. (3)

Теперь на первом нашем примере (1), который был приведен выше, выясним, как производится доказательство справедливости логической клаузы. Исходная клауза имела вид

А→В, АВ.

Преобразуем ее к несколько иному виду:

( В)  А В . (4)

После раскрытия скобок и упрощения приходим к аксиоме порядка (2). Доказанная элементарная клауза (1) известна с времен Аристотеля и играет исключительно важную роль в логике высказываний. Она имеет даже специальное латинское название modus ponens — правило отделения. Если в процессе доказательства справедливости какой-либо сложной клаузы удалось свести ее к клаузе (1), то можно считать, что доказательство состоялось.

Доказано, что можно выбрать такую конечную совокупность аксиом исчисления высказываний (исходных тавтологий), из которых выводимы все доказательства истинности клауз. Одна из таких систем (система Лукашевича) включает следующие тавтологии.

1. 1 А→(В→А).

2. 1 (А→ (В →С)) →((А→В) → (А→С)).

3. 1 (А→ В) → (→).

В процессе доказательств без аксиом булевой логики обойтись невозможно. Поэтому есть смысл говорить о пяти основополагающих законах логики высказываний: законе отношения порядка, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, нуля и единицы.

В качестве примера докажем истинность клаузы

(А  В) → С, С →(D  E), E →F,  .

Из выражений (А  В) → С и С →(D  E) на основании закона силлогизма получаем (А  В) →(D  E). Используя закон коммутативности, выделяем из последних двух выражений E →F и выводим (modus tollens) – . Получаем

(А  В) →(D  E),   .

На основании закона де Моргана из  получаем , что совместно с (А  В) →(D  E) в соответствии с modus tollens дает _{,, получаем ,} _{. Последнее выражение представляет собой ничто иное, как элементарную аксиоматическую клаузу (3), следовательно, вывод доказательства закончен.}

_{Как уже было сказано, формальную запись высказывания можно представить в виде легенды, подставив вместо букв объектные высказывания. Например, задана клауза:}

А →В, В → E, А→С, С →D, D → F, _.

«Если человек занимается спортом (А), то он хочет быть здоровым (В). Хорошее здоровье (В) ведёт к счастливой жизни (E). Кроме того, если человек занимается спортом (А), то он, как правило, стремится достичь высоких спортивных результатов (С). Наличие высоких результатов позволяет (С) одерживать победы на соревнованиях (D). Победы на соревнованиях (D) влекут за собой всеобщее признание (F). Однако человек не хочет жить счастливо (E) и иметь всеобщее признание (F). Значит, он не станет заниматься и спортом ()».

В качестве примера составим клаузу по заданной легенде. Пусть легенда имеет следующее содержание.

«Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объема. Увеличение объема приводит к росту скорости потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов рассудил так: «Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объем и температуру».

Пусть А – Уменьшение температуры;

В – Снижение давления;

С – Уменьшение объема;

D - Снижение скорости;

E – Падение уровня.

Составим следующую клаузу:

«Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объёма. Увеличение объёма приводит к росту скорости потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов рассудил так: “Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объём и температуру”». Данное умозаключение являетсяложным. Истинным рассуждением будет, например, такое: «Увеличение температуры и увеличение давления ведут к уменьшению давления».