4.2. Доказательства в логике предикатов

Основной задачей логики предикатов является установление истинности предикатных тождеств и клауз. Рассмотрим доказательства некоторых тождеств. Докажем дистрибутивность квантора относительно конъюнкции и квантора _{относительно дизъюнкции, то есть}

(Р₁(x) Р₂(x)) = Р₁(x)  Р₂(x).

Пусть левая часть выражения истинна для некоторых Р₁ и Р₂, тогда для любого а  M истинно Р₁(а) Р₂(а), поэтому Р₁(а) и Р₂(а) одновременно истинны для любых а. Следовательно, правая часть выражения тоже истинна.

Если же левая часть ложна, то для некоторого а  M ложно либо Р₁(а), либо Р₂(а), а следовательно, ложно либо Р₁(x) , либо Р₂(x), то есть и правая часть ложна.

Аналогично можно доказать тождество

(Р₁(x) Р₂(x)) = Р₁(x)  Р₂(x).

_{Однако, если квантор общности использовать совместно с дизъюнкцией, а квантор существования – с конъюнкцией, то будет иметь место клауза}

(Р₁(x) Р₂(x)) Þ Р₁(x)  Р₂(x).

И аналогично

(Р₁(x) Р₂(x)) Þ Р₁(x)  Р₂(x).

Приведем без доказательств еще два соотношения:

(Р(x, y) = Р(x, y),

P(x, y) = P(x, y).

Однако не следует забывать, что перестановка различных кванторов не является эквивалентностью.

В логике предикатов, как и в логике высказываний или логике Буля, действует принцип двойственности. Клауза останется в силе, если ее посылки и заключения поменять местами, но при этом одновременно произвести замену:

_,   , 0 1.

Если Y – некое переменное высказывание или формула, не содержащая x, тогда ее можно вынести за область действия квантора, связывающего переменную x.

(Р(x) Y) = Р(x) Y ,

(Р(x) Y) = Р(x) Y .

В качестве примера установим истинность следующего тождества:

(Р₁(x)→ Р₂(x)) = Р₁(x) → Р₂(x).

Доказательство: (Р₁(x) → Р₂(x)) = (Р₁(а) → Р₂(а))  (Р₁(b) → Р₂(b)) =

= (а)  Р₂(а) (b) Р₂(b) = ((а)  (b)) (Р₂(а) Р₂(b)) =

= (x)  Р₂(x) = Р₁(x) → Р₂(x).

Рассмотрим еще один пример: пусть задана клауза

Р(х,у) Þ Р(b, х).

Для доказательства ее истинности избавимся от кванторов в обеих частях:

(Р(а, а) Р(а, b)) (Р(b, а) Р(b, b)) Þ Р(b, а) Р(b, b) ;

Р(а, а) Р(а, b), Р(а, b)  Р(b, а), Р(а, а) Р(b, b), Р(b, а) Р(b, b),

(b, а) Þ Р(b, b) ;

Р(а, а) Р(а, b), Р(а, b)  Р(b, а), Р(а, а) Р(b, b), Р(b, b) Þ Р(b, b).

Последняя клауза верна в силу аксиомы порядка (А,В ÞВ).

4.3. Задание на практическую работу

Установите истинность логических выражений.

1.

2. ,

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Библиографический список

1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 376 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 311 с.

3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 480 с.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – Киев: Технiка, 1977. – 768 с.

5. Потапов В.И., Шафеева О.П. Компьютерная арифметика и алгоритмическое моделирование арифметических операций. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. – 96 с.

6. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001. – 192 с.

7. Чернов Е.А. Проектирование станочной электроавтоматики. – М.: Машиностроение, 1989. – 304 с.

8. Андреев Н.П., Васильченко А.И., Гудинов В.Н. Основы синтеза дискретных систем управления: Сб. задач и упражнений. – Омск: Изд. ОмПИ, 1989. – 49 с.

9. Андреев Н.П. Синтез цикловых систем логико-программного управления технологическим оборудованием с применением ЭВМ: Учеб. пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 1995. – 92 с.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………….. 3

_{1 Множества……………………………………………………………… 4}

_{1.1 Основные понятия теории множеств……………………………. 4}

_{1.2 Операции над множествами……………………………………… 5}

_{1.3 Задания на практическую и самостоятельную работу……......... 9}

_{2 Логика Буля……………………………………………………………. 13}

_{2.1 Логические переменные и функции алгебры Буля…………….. 13}

_{2.2 Постулаты и основные законы булевой алгебры…………………. 15}

_{2.3 Формы представления булевых функций…………………………. 16}

_{2.4 Минимизация булевых функций………………………………… 22}

_{2.5 Задания на практическую и самостоятельную работу…………. 28}

_{3 Логика высказываний………………………………………………….. 35}

_{3.1 Основные определения и законы логики высказываний………… 35}

_{3.2 Доказательства и выводы в логике высказываний……………….. 37}

_{3.3 Задания на практическую и самостоятельную работу…………… 39}

_{4 Логика предикатов……………………………………………………. 46}

_{4.1 Действия над предикатами и кванторами…………………………. 46}

_{4.2Доказательства в логике предикатов……………………………….. 48}

_{4.3 Задания на практическую и самостоятельную работу…………. 50}

_{Библиографический список ….………………………………............... 51}

Редактор Т.А. Жирнова

Свод. темплан 2005 г.

ИД № 06039 от 12.10.2001

Подписано в печать 5.04.06. Формат 60х84 1/16.

Отпечатано на дупликаторе. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 3,25.

Тираж 150 экз. Заказ .

__________________________________________________________________

Издательство ОмГТУ. Омск, пр. Мира,11.

Типография ОмГТУ

52