Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

В.В. Аристов

Основы теории автоматов

Конспект лекций

Омск 2006

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматов – это раздел теории управляющих систем, изучающий математические модели преобразователей дискретной информации, называемые автоматами. С определенной точки зрения такими преобразователями являются как реальные устройства (вычислительные машины, автоматы, живые организмы и т.д.), так и абстрактные системы (например, формальная система, аксиоматические теории и т.д.). Наиболее тесно теория автоматов связана с теорией алгоритмов.

Данный конспект лекций включает в себя аппарат основных моделей в области информатики: понятия теории множеств, булеву алгебру, формальную логику высказываний и предикатов, графы, т.е. те разделы информатики, без которых невозможно выстроить теорию автоматов. Кроме того, представлены основные понятия теории алгоритмов и машины Тьюринга, а также краткие сведения об использовании сетей Петри для моделирования параллельных процессов автоматных систем.

Автомат «вообще» (от греческого  – самодействующий) – управляющая система, являющаяся конечным автоматом или некоторой его модификацией, полученной путем изменения его компонент или функционирования. Основное понятие «конечный автомат» возникло в середине 20 века в связи с попытками описать на математическом языке функционирование нервных систем, универсальных вычислительных машин и других реальных автоматов. Характерной особенностью такого описания является дискретность соответствующих математических моделей и конечность областей значений их параметров, что приводит к понятию конечного автомата.

Большинство задач теории автоматов – общие для основных видов управляющих систем. К ним относятся задачи анализа и синтеза автоматов, задачи полноты, минимизации, эквивалентных преобразований автоматов и другие. Задача анализа состоит в том, чтобы по заданному автомату описать его поведение или по неполным данным об автомате и его функционированию установить те или иные его свойства. Задача синтеза автоматов состоит в построении автомата с предварительно заданным поведением или функционированием. Задача эквивалентных преобразований в общем виде состоит в том, чтобы найти систему правил преобразований (так называемую полную систему правил) автоматов, которые удовлетворяют определенным условиям и позволяют преобразовать произвольный автомат в любой эквивалентный ему. Поведение автомата – математическое понятие, описывающее взаимодействие автомата с внешней средой.

Понятие автомата может служить модельным объектом в самых разнообразных задачах, благодаря чему возможно применение теории автоматов в различных научных и прикладных исследованиях. Большой интерес к этой теории объясняется широкими возможностями ее применения. Без преувеличения можно сказать, что теория автоматов является одним из фундаментальных блоков современной теоретической и практической информатики.

1. Множества